首页 > 已知直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)和图象交于点Q，P、M分别是直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是___

已知直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)和图象交于点Q，P、M分别是直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是___

题目简介

已知直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)和图象交于点Q，P、M分别是直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是___

题目详情

已知直线y=x与函数g(x)=
2
x
(x＞0)和图象交于点Q，P、M分别是直线y=x与函数g(x)=
2
x
(x＞0)的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是______．
题型：填空题难度：偏易来源：江苏三模

答案

∵直线y=x与函数g(x)=class="stub"2
x
(x＞0)和图象交于点Q，∴点Q（
2
，
2
）．
由于 P、M分别是直线y=x与函数g(x)=class="stub"2
x
(x＞0)的图象上异于点Q的两点，
设M（a，class="stub"2
a
），且 a＞0，a≠
2
，设P（b，b），则由PM≥PQ恒成立，
可得 （b-a）2+(b-class="stub"2
a
)2≥(b-
2
)2+(b-
2
)2 恒成立，化简可得 （2a+class="stub"4
a
-4
2
）b≤a2+class="stub"4
a2
-4．
由于a＞0，a≠
2
时，故（2a+class="stub"4
a
-4
2
）＞0，且 a2+class="stub"4
a2
-4＞0，由不等式可得
b≤
a2+class="stub"4
a2
-4
2a+class="stub"4
a
-4
2
=
a4+4-4a2
2a3+4a-4
2
a 2
=class="stub"1
2a
•
(a2 -2)2
(a-
2
)2
=class="stub"1
2a
•( 
a2 -2 
a-
2
 
)2
=class="stub"1
2a
•(a+
2
)2=class="stub"a
2
+class="stub"1
a
+
2
．
即 b≤class="stub"a
2
+class="stub"1
a
+
2
．
由a＞0，a≠
2
，利用基本不等式可得class="stub"a
2
+class="stub"1
a
+
2
＞2
2
，故 b≤2
2
．
再由题意可得，b≠
2
，故点P横坐标b的取值范围是 (-∞，
2
)∪（
2
，2
2
]．
故答案为 (-∞，
2
)∪（
2
，2
2
]．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网