首页 > 已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈D，其中0＜a＜b．（1）当D=（0，+∞）时，设t=xa+bx，f（x）=g（t），求y=g（t）的解析式及定义域；（2）当D=（0，+∞），a

已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈D，其中0＜a＜b．（1）当D=（0，+∞）时，设t=xa+bx，f（x）=g（t），求y=g（t）的解析式及定义域；（2）当D=（0，+∞），a

题目简介

已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈D，其中0＜a＜b．（1）当D=（0，+∞）时，设t=xa+bx，f（x）=g（t），求y=g（t）的解析式及定义域；（2）当D=（0，+∞），a

题目详情

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈D，其中0＜a＜b．
（1）当D=（0，+∞）时，设t=
x
a
+
b
x
，f（x）=g（t），求y=g（t）的解析式及定义域；
（2）当D=（0，+∞），a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（3）设k＞0，当a=k2，b=（k+1）2时，1≤f（x）≤9对任意x∈[a，b]恒成立，求k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：上海模拟

答案

（1）∵t=class="stub"x
a
+class="stub"b
x
，0＜a＜b，x＞0，
∴t≥2
class="stub"b
a
=
2
ab
a
，
又f（x）=(class="stub"x
a
-1)2+(class="stub"b
x
-1)2=(class="stub"x
a
+class="stub"b
x
-1)2+1-class="stub"2b
a
，f（x）=g（t），
∴g（t）=（t-1）2+1-class="stub"2b
a
，t∈[
2
ab
a
，+∞）；
（2）∵x＞0，a=1，b=2，
∴f（x）=(x+class="stub"2
x
-1)2-3，又x+class="stub"2
x
-1≥2
2
-1（当且仅当x=
2
时取“=”）
∴f（x）≥(2
2
-1)2-3=6-4
2
，
∴f（x）min=6-4
2
．
（3）由题意可得，x∈[a，b]=[k2，（k+1）2]，1≤f（x）≤9恒成立，
∴只需求得x∈[k2，（k+1）2]时f（x）的最小值即可．
∵此时，f（x）=[class="stub"x
k2
+
(k+1)
x
2-1]2+1-
2(k+1)2
k2
，
∵k＞0，x＞0，令g（x）=class="stub"x
k2
+
(k+1)2
x
=class="stub"1
k2
（x+
k2(k+1)2
x
）
由双钩函数y=h（x）=x+class="stub"a
x
（a＞0）的性质h（x）在（0，
a
]单调递减，在[
a
，+∞）单调递增得：
g（x）在[k2，k（k+1）]上单调递减，在[k（k+1），（k+1）2]单调递增
∴当x=k（k+1）时g（x）取到最小值；
当x=k2时，g（k2）=2+class="stub"2
k
+class="stub"1
k2
；
当x=（k+1）2时，g（（k+1）2）=2+class="stub"2
k
+class="stub"1
k2
=g（k2），即当x=k2或（k+1）2时g（x）取到最大值；
∴g（x）min=
2(k+1)
k
，g（x）max=2+class="stub"2
k
+class="stub"1
k2
；
由题意可知，当g（x）取到最小值时，f（x）取到最小值，g（x）取到最大值时，f（x）亦取到最大值．
∴f（x）min=[
2(k+1)
k
-1]2+1-
2(k+1)2
k2
=class="stub"2
k2
；
同理可求，f（x）max=[
(k+1)2
k2
-1]2=(class="stub"2
k
+class="stub"1
k2
)2．
∵1≤f（x）≤9对任意x∈[k2，（k+1）2]恒成立，
∴
class="stub"2
k2
≥1
(class="stub"2
k
+class="stub"1
k2
)2≤9
，而k＞0，
∴0＜k≤
2
．

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