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已知f（x）=2sin（x+θ2）cos（x+θ2）+23cos2（x+θ2）-3．（1）化简f（x）的解析式；（2）若0≤θ≤π，求θ使函数f（x）为偶函数；（3）在（2）成立的条件下，求满足f（x

题目简介

已知f（x）=2sin（x+θ2）cos（x+θ2）+23cos2（x+θ2）-3．（1）化简f（x）的解析式；（2）若0≤θ≤π，求θ使函数f（x）为偶函数；（3）在（2）成立的条件下，求满足f（x

题目详情

已知f （x）=2sin（x+
θ
2
）cos（x+
θ
2
）+2
3
cos2（x+
θ
2
）-
3
．
（1）化简f （x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ使函数f （x）为偶函数；
（3）在（2）成立的条件下，求满足f （x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f（x）=sin（2x+θ）+2
3
×
1+cos(2x+θ)
2
-
3

=sin（2x+θ）+
3
cos（2x+θ）
=2sin（2x+θ+class="stub"π
3
）；
（2）要使f （x）为偶函数，则必有f（-x）=f（x），
∴2sin（-2x+θ+class="stub"π
3
）=2sin（2x+θ+class="stub"π
3
），即-sin[2x-（θ+class="stub"π
3
）]=sin（2x+θ+class="stub"π
3
），
整理得：-sin2xcos（θ+class="stub"π
3
）+cos2xsin（θ+class="stub"π
3
）=sin2xcos（θ+class="stub"π
3
）+cos2xsin（θ+class="stub"π
3
）
即2sin2xcos（θ+class="stub"π
3
）=0对x∈R恒成立，
∴cos（θ+class="stub"π
3
）=0，又0≤θ≤π，
则θ=class="stub"π
6
；
（3）当θ=class="stub"π
6
时，f（x）=2sin（2x+class="stub"π
2
）=2cos2x=1，
∴cos2x=class="stub"1
2
，
∵x∈[-π，π]，
∴x=±class="stub"π
6
，
则x的集合为{x|x=±class="stub"π
6
}．

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