首页 > 已知a＞0，设函数f(x)=alnx-2a•x+2a，g(x)=12(x-2a)2．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值；（Ⅱ）若e是自然对数的底数，当a=e时，是否存在常数k、b，使得不

已知a＞0，设函数f(x)=alnx-2a•x+2a，g(x)=12(x-2a)2．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值；（Ⅱ）若e是自然对数的底数，当a=e时，是否存在常数k、b，使得不

题目简介

已知a＞0，设函数f(x)=alnx-2a•x+2a，g(x)=12(x-2a)2．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值；（Ⅱ）若e是自然对数的底数，当a=e时，是否存在常数k、b，使得不

题目详情

已知a＞0，设函数f(x)=alnx-2
a
•x+2a，g(x)=
1
2
(x-2
a
)2．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（Ⅱ）若e是自然对数的底数，当a=e时，是否存在常数k、b，使得不等式f（x）≤kx+b≤g（x）对于任意的正实数x都成立？若存在，求出k、b的值，若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：丹东模拟

答案

（I）∵h（x）=f（x）-g（x）=alnx-2
a
x+2a-class="stub"1
2
(x-2
a
)2=alnx-class="stub"1
2
x2（x＞0）（2分）
对函数h（x）求导可得，h′(x)=class="stub"a
x
-x=
-(x+
a
)(x-
a
)
x

∵x＞0
∴当0＜x＜
a
时，h′（x）＞0，h（x）在（0，
a
）上单调递增，
当x＞
a
时，h′（x）＜0，h（x）在（
a
，+∞）上单调递减
∴x=
a
是函数h（x）唯一的极大值即是函数的最大值h（
a
）=class="stub"alna-a
2
（4分）
（II）当a=e时，h（x）=f（x）-g（x）的最大值为0
即f（x）≤g（x），当且仅当x=
e
时取等号（6分）
∴函数f（x，g（x）的图象在x=
e
处有且仅有一个公共点（
e
，class="stub"e
2
）
∵f′(x)=class="stub"e
x
 -2
e
，函数f（x）的图象在x=
e
处的切线斜率k=-
e

g′(x)=x-2
e
，函数g（x）在x=
e
处的切线斜率k=-
e

∴f（x）与g（x）的图象在x=
e
处有公共的切线方程为y=-
e
x+class="stub"3e
2
（8分）
设F(x)=f(x)-(-
e
x+class="stub"3e
2
)=elnx-
e
x+class="stub"e
2
，F′(x)=class="stub"e
x
-
e
=-
e
(x-
e
)
x

x(0，
e
)
e
(
e
，+∞)
 F'（x）+0-
F（x）↑极大值↓
∴当x=
e
时，函数F（x）取得最大值0
∴f(x)≤-
e
x+class="stub"3e
2
恒成立；…（10分）
∵g(x)-(-
e
x+class="stub"3e
2
)=class="stub"1
2
x2-
e
x+class="stub"e
2
=class="stub"1
2
(x-
e
)2≥0，
∴g(x)≥-
e
x+class="stub"3e
2
在x∈R时恒成立；
∴当a=e时，k=-
e
，b=class="stub"3e
2
．

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