已知函数f(x)=a-2x4x+1(a∈R).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)判断并证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性.-数学

题目简介

已知函数f(x)=a-2x4x+1(a∈R).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)判断并证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性.-数学

题目详情

已知函数f(x)=a-
2x
4x+1
(a∈R).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵函数f(x)=a-
2x
4x+1
(a∈R),定义域为实数集R.
①∵f(-x)-f(x)=a-
2-x
4-x+1
-
(a-
2x
4x+1
)
=-
2-x×4x
1+4x
+
2x
4x+1
=-
2x
4x+1
+
2x
4x+1
=0,∴f(-x)=f(x)对于任意实数x都成立,∴函数f(x)是偶函数;
②又f(-x)+f(x)=a-
2-x
4-x+1
+a-
2x
4x+1
=2a-
2x
1+4x
×2,此式对于任意的实数x不满足f(-x)+f(x)=0,故此函数不是奇函数.
(2)判断:函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
证明:任取0<x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=a-
2x1
4x1+1
-
(a-
2x2
4x2+1
)
=
(2x1-2x2)(2x1+x2-1)
(4x1+1)(4x2+1)

由0<x1<x2,∴2x12x22x1+x2>1
2x1-2x2<02x1+x2-1>0
4x1+1>04x2+1>0
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.

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