已知f(x)=ax+bx2+1是定义在R上的奇函数,且f(x)的图象经过点(1,12).(1)求实数a,b的值;(2)求证:y=f(x)在(1,+∞)是减函数.-数学

题目简介

已知f(x)=ax+bx2+1是定义在R上的奇函数,且f(x)的图象经过点(1,12).(1)求实数a,b的值;(2)求证:y=f(x)在(1,+∞)是减函数.-数学

题目详情

已知f(x)=
ax+b
x2+1
是定义在R上的奇函数,且f(x)的图象经过点(1,
1
2
).
(1)求实数a,b的值;
(2)求证:y=f(x)在(1,+∞)是减函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为f(x)=class="stub"ax+b
x2+1
是定义在R上的奇函数
所以f(0)=0
所以b=0
又因为f(x)的图象经过点(1,class="stub"1
2
),
所以 f(1)=class="stub"a
2
=class="stub"1
2

所以a=1,b=0
(2)∵f(x)=class="stub"x
x2+1

∴f′(x)=
x2+1-2x×x
(x2+1)2
=
-x2+1
(x2+1)2

∵x>1,可得-x2+1<0,
可以推出f′(x)<0,在(1,+∞)上成立,
∴y=f(x)在(1,+∞)是减函数.

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