已知函数f(x)=x+1x.(1)求函数f(x)的定义域.(2)判断函数的奇偶性,并加以证明;(3)用定义证明f(x)在(0,1)上是减函数.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x+1x.(1)求函数f(x)的定义域.(2)判断函数的奇偶性,并加以证明;(3)用定义证明f(x)在(0,1)上是减函数.-数学

题目详情

已知函数f(x)=x+
1
x

(1)求函数f(x)的定义域.
(2)判断函数的奇偶性,并加以证明;
(3)用定义证明f(x)在(0,1)上是减函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意若函数f(x)=x+class="stub"1
x
的解析式有意义
自变量须满足x≠0,
所以函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)
(2)此函数是一个奇函数,证明如下
由(1)知函数的定义域关于原点对称,
又∵f(-x)=-x-class="stub"1
x
=-(x+class="stub"1
x
)=-f(x),
∴函数是奇函数;
(3)此函数在(0,1)上是减函数,证明如下:
任取x1,x2∈(0,1)且x1<x2,
∴x1-x2<0,x1•x2<1,x1•x2-1<0
f(x1)-f(x2)=(x1+class="stub"1
x1
)-(x2+class="stub"1
x2
)=(x1-x2)(
x1x2-1
x1x2
)>0
即有f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2)
故函数在(0,1)上是减函数

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