已知函数f(x)=4x+ax+1,a>-1,a为常数,(1)若a=1,证明f(x)≥0;(2)对任意x∈(1+∞)f(x)>1恒成立,求实数a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=4x+ax+1,a>-1,a为常数,(1)若a=1,证明f(x)≥0;(2)对任意x∈(1+∞)f(x)>1恒成立,求实数a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=4x+
a
x+1
,a>-1
,a为常数,
(1)若a=1,证明f(x)≥0;
(2)对任意x∈(1+∞)f(x)>1恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)a=1时,f(x)=4x+class="stub"1
x+1
,因x>-1,所以x+1>0

所以f(x)=4(x+1)+class="stub"1
x+1
-4≥4-4=0,所以f(x)≥0

(2)对任意x∈(1,+∞)有f(x)>1,
即4x+class="stub"1
x+1
>1得a>(1-4x)(1+x),令g(x)=(1-4x)(1+x),
g(x)=-4x2-3x+1在(1,+∞)上递增,所以g(x)<g(1)=-6,
∴a≥-6,即a的取值范围是[-6,+∞].

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