已知f(x)是定义在集合D上的函数,且-1<f′(x)<0.(1)若f(x)=-x2+asinx,在[π2,π]([π2,π]⊆D)上的最大值为1-π4,试求不等式|ax+1|<a的解集.(2)若对于

题目简介

已知f(x)是定义在集合D上的函数,且-1<f′(x)<0.(1)若f(x)=-x2+asinx,在[π2,π]([π2,π]⊆D)上的最大值为1-π4,试求不等式|ax+1|<a的解集.(2)若对于

题目详情

已知f(x)是定义在集合D上的函数,且-1<f′(x)<0.
(1)若f(x)=-
x
2
+asinx
,在[
π
2
,π
]([
π
2
,π
]⊆D)上的最大值为
1-π
4
,试求不等式|ax+1|<a的解集.
(2)若对于定义域中任意的x1,x2,存在正数ε,使|x1-1|<
ε
2
且|x2-1|<
ε
2
,求证:|f(x1)-f(x2)|<ε.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由于f′(x)<0,则函数f(x)在[class="stub"π
2
,π]
上单调递减,
fmax(x)=f(class="stub"π
2
)=-
class="stub"π
2
2
+asinclass="stub"π
2
=class="stub"1-π
4
,解得a=class="stub"1
4

则原不等式为|class="stub"1
4
x+1|<class="stub"1
4
,解之得-5<x<-3
故原不等式的解集为(-5,-3);
(2)不妨设x1<x2,令g(x)=f(x)+x
由于f′(x)>-1,故g′(x)=f′(x)+1>0,则函数g(x)为其定义域上的增函数,
g(x1)<g(x2 ),亦即f(x1)+x1<f(x2 )+x2 
f(x1)-f(x2 )<x2-x1 
又由函数f(x)在D上递减,则f(x1)>f(x2 )
|f(x1)-f(x2 )|<|x2-x1 |
|f(x1)-f(x2 )|<|x2-x1 |=|(x2-1)-(x1 -1)|≤|x2-1|-|x1 -1|<class="stub"ɛ
2
+class="stub"ɛ
2

|f(x1)-f(x2 )|<ɛ

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