已知函数f(x)=ex,g(x)=lnx,h(x)=kx+b.(1)当b=0时,若对∀x∈(0,+∞)均有f(x)≥h(x)≥g(x)成立,求实数k的取值范围;(2)设h(x)的图象为函数f(x)和g

题目简介

已知函数f(x)=ex,g(x)=lnx,h(x)=kx+b.(1)当b=0时,若对∀x∈(0,+∞)均有f(x)≥h(x)≥g(x)成立,求实数k的取值范围;(2)设h(x)的图象为函数f(x)和g

题目详情

已知函数f (x)=ex,g(x)=lnx,h(x)=kx+b.
(1)当b=0时,若对∀x∈(0,+∞)均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立,求实数k的取值范围;
(2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线,切点分别为(x1,f (x1))和(x2,g(x2)),其中x1>0.
①求证:x1>1>x2
②若当x≥x1时,关于x的不等式ax2-x+xe-x+1≤0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)依题意对∀x∈(0,+∞)均有ex≥kx≥lnx成立
即对任意∀x∈(0,+∞)均有
ex
x
≥k≥class="stub"lnx
x
成立…(1分)
∴(
ex
x
)min≥k≥(class="stub"lnx
x
)max

因为(
ex
x
)=
ex(x-1)
x2
y=
ex
x
在(0,1)上减,(1,+∞)增
∴(
ex
x
)min=e
(class="stub"lnx
x
)=class="stub"1-lnx
x2
y=class="stub"lnx
x
在(0,e)上减,(e,+∞)增
(class="stub"lnx
x
)max=class="stub"1
e
即k的取值范围是[class="stub"1
e
,e]
(2)由题知:h(x)即为y-e x1=e x1(x-x1)即y=e x1•x+e x1-x1 e x1
也为y=lnx2=class="stub"1
x2
(x-x2)
即y=class="stub"1
x2
x
+lnx2-1
ex1=class="stub"1
x2
ex1-x1ex1=lnx2-1
…(6分)
又x1=0,∴e x1>1  即class="stub"1
x2
>1⇒x1>1
即x1>1>x2…(8分)
(3)令F(x)=ax2-x+xe-x+1(x≥x1)
∴F′(x)=-1-xe-x+e-x=-1+e-x(1-x)( x≥x1)
又x≥x1>1,F′(x)=-1-xe-x+e-x=-1+e-x(1-x)<0
即F(x)=ax2-x+xe-x+1(x≥x1)单调减,
所以只要F(x)≤F(x1)=ax2-x1+x1e -x1+1≤0
即a+x1-x1e x1+e x1≤0…(12分)
ex1=class="stub"1
x2
ex1-x1ex1=lnx2-1

x1=-lnx2
ex1-x1ex1=lnx2-1

x1-x1ex1+ex1=-1
故只要a+x1-x1ex1+ex1=a-1≤0得:
a≤1
综上,实数a的取值范围是(-∞,1]…(14分)

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