设函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R)(x∈R)的最小值为f(-1)=0,(1)求实数a、b的值;(2)当x∈[-2,2]时,求函数ϕ(x)=ax2+btx+1的最大值g(t).-数学

题目简介

设函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R)(x∈R)的最小值为f(-1)=0,(1)求实数a、b的值;(2)当x∈[-2,2]时,求函数ϕ(x)=ax2+btx+1的最大值g(t).-数学

题目详情

设函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R)(x∈R)的最小值为f(-1)=0,
(1) 求实数a、b的值;
(2) 当x∈[-2,2]时,求函数ϕ(x)=ax2+btx+1的最大值g(t).
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意f(-1)=0可得f(-1)=a-b+1=0且在对称轴处取得最小值:-class="stub"b
2a
=-1

解得:a=1,b=2.
(2)由第一问可得a=1,b=2因此ϕ(x)=x2+2tx+1,其对称轴为x=-t
由简单图象可知:
当t≤0时,对称轴x≥0,此时g(t)=ϕ(-2)=5-4t
当t>0时,对称轴x<0,,此时g(t)=ϕ(2)=5+4t
g(t)=
5-4tt≤0
5+4tt>0

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