首页 > 已知定义在R上的奇函数f（x），在x∈（0，1）时，f（x）=2x4x+1，且f（-1）=f（1）．（1）求f（x）在x∈[-1，1]上的解析式；（2）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜12；（3）

已知定义在R上的奇函数f（x），在x∈（0，1）时，f（x）=2x4x+1，且f（-1）=f（1）．（1）求f（x）在x∈[-1，1]上的解析式；（2）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜12；（3）

题目简介

已知定义在R上的奇函数f（x），在x∈（0，1）时，f（x）=2x4x+1，且f（-1）=f（1）．（1）求f（x）在x∈[-1，1]上的解析式；（2）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜12；（3）

题目详情

已知定义在R上的奇函数f（x），在x∈（0，1）时，f（x）=
2x
4x+1
，且f（-1）=f（1）．
（1）求f（x）在x∈[-1，1]上的解析式；
（2）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜
1
2
；
（3）若x∈（0，1），常数λ∈（2，
5
2
），解关于x的不等式f（x）＞
1
λ
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）是R上的奇函数且x∈（0，1）时，f（x）=
2x
4x+1
，
∴当x∈（-1，0）时，f（x）=-f（-x）=-
2-x
4-x+1
=-
2x
4x+1
，（1分）
又由于f（x）为奇函数，∴f（0）=-f（-0），∴f（0）=0，（2分）
又f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1），∴f（-1）=f（1）=0．（3分）
综上所述，当x∈[-1，1]时，f（x）=
-
2x
4x+1
，x∈(-1，0)
2x
4x+1
，x∈(0，1)
0，x∈{-1，1，0}
（4分）
（2）当x∈（0，1）时，f（x）=
2x
4x+1
=(2x+class="stub"1
2 x
)   -1，（5分）
2x+class="stub"1
2 x
≥2，当且仅当2x=class="stub"1
2 x
，即x=0取等号．（6分）
∵x∈（0，1），∴不能取等号，
∴f（x）＜class="stub"1
2
；（8分）
（3）λ∈（2，class="stub"5
2
），class="stub"1
λ
∈（class="stub"2
5
，class="stub"1
2
），f（x）＞class="stub"1
λ
即4x-λ•2x+1＜0，
设t=2x∈（1，2），不等式变为t2-λt+1＜0，∵λ∈（2，class="stub"5
2
），∴△=λ2-4＞0，
∴
λ-
λ 2-4
2
＜t＜
λ+
λ 2-4
2
．（10分）
而当λ∈（2，class="stub"5
2
）时，t＞0．
综上可知，不等式的解集是（0，log2
λ+
λ 2-4
2
）．（13分）．

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