已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件f（-1），当x∈R时x≤f（x）≤(x+1)24恒成立．（1）求f（1）；（2）求f（x）的解析式；（3）若x1，x2∈（0，+∞），且1x1+1x2=

题目简介

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件f（-1），当x∈R时x≤f（x）≤

(x+1)2

恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若x₁，x₂∈（0，+∞），且

=2，求证：f（x₁）•f（x₂）≥1．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）∵x≤f（x）≤

(x+1)2

∴当x=1时．1≤f（1）≤

(1+1)2

=1．
∴f（1）=1．
（2）由（1）知a+b+c=1，又f（-1）=0，∴a-b+c=0
从而

b=class="stub"1

a+c=class="stub"1

，又x∈R时，f（x）≥x恒成立．
即ax2+（b-1）x+c≥0，故

a＞0

△=(b-1)2-4ac≤0

∴ac≥class="stub"1

∴c＞0 而a+c=class="stub"1

≥ 2

∴ac≤class="stub"1

∴ac=class="stub"1

∴a=c=class="stub"1

．∴f(x)=class="stub"1

x2+class="stub"1

x+class="stub"1

．
（3）∵class="stub"1

+class="stub"1

=2，x1，x2∈（0，+∞），
∴x1+x2=2x1x2
∴x1+x2≥2

x1x2

（当且仅当x1=x2=1时取等号）
∴2x1x2≥2

x1x2

∴x1x2≥1．
又（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=3x1x2+1≥4．
∴f（x1）•f（x2）=

(x1+1)2

•

(x2+1)2

≥ 1 （当且仅当x1=x2=1时取等号）