已知函数f(x)=1a-1x(a≠0,x≠0).(1)设F(x)=f(x)-a,且F(x)为奇函数,求a的值;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.-数学

题目简介

已知函数f(x)=1a-1x(a≠0,x≠0).(1)设F(x)=f(x)-a,且F(x)为奇函数,求a的值;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
1
a
-
1
x
(a≠0,x≠0).
(1)设F(x)=f(x)-a,且F(x)为奇函数,求a的值;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解  (1)∵F(x)=f(x)-a=class="stub"1
a
-class="stub"1
x
-a
…(3分)
F(-x)=class="stub"1
a
+class="stub"1
x
-a

又因为F(-x)为奇函数,
所以 F(-x)+F(x)=class="stub"2
a
-2a=0
…(5分)
解得 a=1或a=-1…(7分)
(2)证明  任取x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=(class="stub"1
a
-class="stub"1
x1
)-(class="stub"1
a
-class="stub"1
x2
)=(class="stub"1
x2
-class="stub"1
x1
)=
x1-x2
x1x2
   …(10分)
∵x1>x2>0,∴x1x2>0,x1-x2>0,…(12分)
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
故f(x)在(0,+∞)上是增函数              …(15分)

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