已知函数f(x)=x+a,g(x)=x+2ax(a>0),(1)当a=1时,求|ag(x)+3f(x)f(x)|的最小值;(2)|ag(x)+3f(x)f(x)|>5对x∈[1,4]恒成立,求实数a的

题目简介

已知函数f(x)=x+a,g(x)=x+2ax(a>0),(1)当a=1时,求|ag(x)+3f(x)f(x)|的最小值;(2)|ag(x)+3f(x)f(x)|>5对x∈[1,4]恒成立,求实数a的

题目详情

已知函数f(x)=
x
+a,g(x)=x+2a
x
(a>0)

(1)当a=1时,求|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|
的最小值;  
(2)|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|>5
对x∈[1,4]恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

f(x)=
x
+a=t
,则g(x)=t2-a2,|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|=|
at2+3t-a3
t
|

(1)当a=1时,t≥1,故t-class="stub"1
t
+3=
(t-1)(t+1)
t
+3≥3
,因此|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|=|
t2+3t-1
t
|=|t-class="stub"1
t
+3|≥3
,当且仅当t=1即x=0时取等号.
所以|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|
的最小值是3;
(2)由x∈[1,4]得t∈[1+a,2+a],由|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|>5
整理可得at2-2t-a3>0①或at2+8t-a3<0②.因此①式或②式对于任意的t∈[1+a,2+a]恒成立.显然at2+8t-a3=a(t2-a2)+8t>0,故②式不成立.
令φ(t)=at2-2t-a3,因为△=4+4a4>0,
结合该函数的图象可得
φ(1+a)>0
class="stub"1
a
<1+a
φ(2+a)>0
class="stub"1
a
>2+a
⇔( I)
2a2-a-2>0
a2+a-1>0
或( II)
2a2+a-2>0
a2+2a-1<0

结合a>0可知不等式组( I)的解为a>
17
+1
4
,不等式组( II)无解.所以a>
17
+1
4

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