首页 > 设数列{an}满足a1=0，且an+1=an+14+1+4an2．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）设14+an=bn，试判断数列{bn}是否为等差数列？并求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）设g(n)=1bn+1

设数列{an}满足a1=0，且an+1=an+14+1+4an2．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）设14+an=bn，试判断数列{bn}是否为等差数列？并求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）设g(n)=1bn+1

题目简介

设数列{an}满足a1=0，且an+1=an+14+1+4an2．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）设14+an=bn，试判断数列{bn}是否为等差数列？并求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）设g(n)=1bn+1

题目详情

设数列{an}满足a1=0，且an+1=an+
1
4
+
1+4an
2
．  
（Ⅰ）求a2的值；
（Ⅱ）设
1
4
+an
=bn，试判断数列{bn}是否为等差数列？并求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）设g(n)=
1
bn+1
+
1
bn+2
+
1
bn+3
+…+
1
b2n
，且g（n）≥m（m∈R）对任意n＞1，n∈N*都成立，求m的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵a1=0，且an+1=an+class="stub"1
4
+
1+4an
2
，
∴a2=class="stub"1
4
+class="stub"1
2
=class="stub"3
4
．
（Ⅱ）∵
class="stub"1
4
+an
=bn，
∴an=bn2-class="stub"1
4
，代入an+1=an+class="stub"1
4
+
1+4an
2
得到：
b2n+1
=(bn+class="stub"1
2
)2，
∵bn＞0，
∴bn+1-bn=class="stub"1
2
，所以数列{bn}是以b1=class="stub"1
2
为首项，公差为class="stub"1
2
的等差数列．bn=class="stub"1
2
+(n-1)•class="stub"1
2
=class="stub"1
2
n．即数列{bn}的通项公式为bn=class="stub"1
2
n．
（Ⅲ）要使g（n）≥m（m∈R）对任意n＞1，n∈N*都成立，只须m≤[g（n）min].
∵g(n)=class="stub"1
bn+1
+class="stub"1
bn+2
+class="stub"1
bn+3
+…+class="stub"1
b2n
=2(class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
+class="stub"1
n+3
+…+class="stub"1
2n
)
，∴g(n+1)-g(n)=2(class="stub"1
2n+1
+class="stub"1
2n+2
-class="stub"1
n+1
)=class="stub"1
(2n+1)•(n+1)
＞0，∴g（n）是增的，
∴[g(n)]min=g(2)=2•(class="stub"1
3
+class="stub"1
4
)=class="stub"7
6
，
∴m的最大值为class="stub"7
6
．

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