首页 > 已知函数f(x)=ax+bx（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），(2，52)两点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数在[1，+∞）上是增函数；（3）若不等式4a3-2a≥f(x)对任意

已知函数f(x)=ax+bx（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），(2，52)两点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数在[1，+∞）上是增函数；（3）若不等式4a3-2a≥f(x)对任意

题目简介

已知函数f(x)=ax+bx（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），(2，52)两点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数在[1，+∞）上是增函数；（3）若不等式4a3-2a≥f(x)对任意

题目详情

已知函数f(x)=ax+
b
x
（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），(2，
5
2
)两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数在[1，+∞）上是增函数；
（3）若不等式
4a
3
-2a≥f(x)对任意的x∈[
1
2
，3]恒成立，求实数a的取值集合．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f(x)=ax+class="stub"b
x
（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），(2，class="stub"5
2
)两点，
∴
a+b=2
2a+class="stub"b
2
=class="stub"5
2
，解得a=1，b=1，
∴f(x)=x+class="stub"1
x
．…..（3分）
（2）设x2＞x1≥1，则f(x2)-f(x1)=x2+class="stub"1
x2
-x1-class="stub"1
x1
=x2-x1+
x1-x2
x1x2

=(x2-x1)(1-class="stub"1
x1x2
)=
(x2-x1)(x1x2-1)
x1x2
，
∵x2＞x1≥1，∴x1x2＞0，x2-x1＞0，x1x2＞1，
∴x1x2-1＞0，
故f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
所以f（x）在[1，+∞）上是增函数．   …（6分）
（3）要使不等式
4a
3
-2a≥f(x)对任意的x∈[class="stub"1
2
，3]恒成立，
只需
4a
3
-2a≥fmax(x)，x∈[class="stub"1
2
，3]，
由（2）知f（x）在[1，+∞）上单调递增，
同理可证f（x）在（0，1]上单调递减．
当x∈[class="stub"1
2
，3]时，f（x）在[class="stub"1
2
，1]上单调递减，f（x）在[1，3]上单调递增．
又f(class="stub"1
2
)=class="stub"5
2
，f(3)=class="stub"10
3
，
∴当x∈[class="stub"1
2
，3]时，fmax(x)=f(3)=class="stub"10
3
，
∴
4a
3
-2a≥class="stub"10
3
⇒4a-3•2a-10≥0⇒(2a+2)(2a-5)≥0⇒2a≥5⇒a≥log25，
∴a的取值集合是{a|a≥log25}．…（10分）

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