已知函数f(x)=12x2+ax-(a+1)lnx(a<-1).(1)若函数f(x)在x=2处的切线与x轴平行,求a的值,并求出函数的极值;(2)已知函数g(x)=4lnx-2x+ln(b2-2b),

题目简介

已知函数f(x)=12x2+ax-(a+1)lnx(a<-1).(1)若函数f(x)在x=2处的切线与x轴平行,求a的值,并求出函数的极值;(2)已知函数g(x)=4lnx-2x+ln(b2-2b),

题目详情

已知函数f(x)=
1
2
x2+ax-(a+1)lnx
(a<-1).
(1)若函数f(x)在x=2处的切线与x轴平行,求a的值,并求出函数的极值;
(2)已知函数g(x)=4lnx-2x+ln(b2-2b),在(1)的条件下,若f(x)>g(x)恒成立,求b的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:蓝山县模拟

答案

(1)∵函数f(x)=class="stub"1
2
x2+ax-(a+1)lnx
(a<-1)
∴f(x)的定义域为(0,+∞)且f′(x)=x+a-class="stub"a+1
x
=
x2+ax-(a+1)
x
,(1分)
∵f(x)在x=2处的切线与x轴平行
∴f'(2)=0
∴a=-3,(3分)此时f'(x)=
(x-1)(x-2)
x

∴当x∈(0,1)时f′(x)>0,x∈(1,2)时f′(x)<0,x∈(2,+∞)时f′(x)>0
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增
∴当x=1时,f(x)有极大值f(1)=-class="stub"5
2

当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-4+2ln2.(6分)
(2)令F(x)=f(x)-g(x)
则F(x)的定义域为(0,+∞),F(x)=class="stub"1
2
x2-3x+2lnx
-4lnx+2x-ln(b2-2b)=class="stub"1
2
x2-x-2lnx
-ln(b2-2b)(x>0),
∴F′(x)=x-1-class="stub"2
x
=
x2-x-2
x
=
(x-2)(x+1)
x
.                                (8分)
∴当0<x<2时,F′(x)<0,所以F(x)在(0,2)上单调递减;
当x>2时,F′(x)>0,所以F(x)在(2,+∞)上单调递增.
∴当x=2时,F(x)min=2-2-2ln2-ln(b2-2b)=-2ln2-ln(b2-2b),
∴要使在(1)的条件下,若f(x)>g(x)恒成立只需要F(x)min=-2ln2-ln(b2-2b)>0
即ln(b2-2b)<-2ln2=lnclass="stub"1
4
(11分)
b2-2b>0
b2-2b<class="stub"1
4
b>2或b<0
2-
5
2
<b<
2+
5
2
2-
5
2
<b<0或2<b<
2+
5
2
(13分).

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