已知函数f(x)=2x2,g(x)=alnx(a>0).(1)若直线l交f(x)的图象C于A,B两点,与l平行的另一条直线l1切图象于M,求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;(2)若不等式f(x)

题目简介

已知函数f(x)=2x2,g(x)=alnx(a>0).(1)若直线l交f(x)的图象C于A,B两点,与l平行的另一条直线l1切图象于M,求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;(2)若不等式f(x)

题目详情

已知函数f(x)=2x2,g(x)=alnx(a>0).
(1)若直线l交f(x)的图象C于A,B两点,与l平行的另一条直线l1切图象于M,求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围;
(3)求证:
ln24
24
+
ln34
34
+…+
lnn4
n4
2
e
(其中e为无理数,约为2.71828).
题型:解答题难度:中档来源:咸阳三模

答案

(1)证明:设切点M的横坐标为x0,A,B点的横坐标分别为x1,x2,
因为f′(x)=4x,所以kl=kl1=4x0
令AB方程为y=4x0x+b,则由
y=2x2
y=4x0x+b
消去y得2x2-4x0x-b=0,
△=16
x20
+8b>0
时,x1+x2=2x0,所以A,M,B三点的横坐标成等差数列.…(4分)
(2)令F(x)=f(x)-g(x)=2x2-alnx,F′(x)=4x-class="stub"a
x

令F'(x)=0,得x=
a
2
,所以f(x)的减区间为(0,
2
2
)
,增区间为(
a
2
,+∞)

∴F(x)极小值=F(x)min=class="stub"a
2
-aln
a
2

不等式f(x)≥g(x)恒成立,等价于class="stub"a
2
-aln
a
2
≥0

∴a≤4e且a>0,即a∈(0,4e].…(10分)
(3)证明:由(2)得2x2≥4elnx,即class="stub"4lnx
x4
≤class="stub"2
ex2
,所以
ln24
24
+
ln34
34
+…+
lnn4
n4
≤class="stub"2
e
(class="stub"1
22
+class="stub"1
32
+…+class="stub"1
n2
)<class="stub"2
e
(class="stub"1
1×2
+class="stub"1
2×3
+…+class="stub"1
n(n-1)
)<class="stub"2
e

ln24
24
+
ln34
34
+…+
lnn4
n4
<class="stub"2
e
(14分)

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