已知函数f(x)=13x3-a2x2-2a2x+1(a>0)(1)求函数f(x)的极值;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,求实数a的取值范围;(3)已知不等式f'(x)

题目简介

已知函数f(x)=13x3-a2x2-2a2x+1(a>0)(1)求函数f(x)的极值;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,求实数a的取值范围;(3)已知不等式f'(x)

题目详情

已知函数f(x)=
1
3
x3-
a
2
x2-2a2x+1   (a>0)

(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,求实数a的取值范围;
(3)已知不等式f'(x)<x2-x+1对任意a∈(1,+∞)都成立,求实数x的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:茂名一模

答案

(1)∵f′(x)=x2-ax-2a2,令f′(x)=x2-ax-2a2=0,则  x=-a或x=2a
f′(x)=x2-ax-2a2>0时,x<-a或x>2a
x=-a时,f(x)取得极大值f(-a)=class="stub"7
6
a3+1
,x=2a时,f(x)取极小值
f(2a)=-class="stub"10
3
a3+1

(2)要使函数y=f(x)的图象与值线y=0恰有三个交点,则函数y=f(x)的极大值大于零,极小值小于零,由(1)的极值可得
class="stub"7
6
a3 +1>0
-class="stub"10
3
a3+1<0
解之得a>
3class="stub"3
10
=
3300
10

(3)要使f′(x)<x2-x+1对任意a∈(1,+∞)都成立
即x2-ax-2a2<x2-x+1,
(1-a)x<2a2+1
∵a∈(1,+∞)∴1-a<0
x>
2a2+1
1-a
对任意a∈(1,+∞)都成立,则x大于
2a2+1
1-a
的最大值
2a2+1
1-a
=-
2(a-1)2+4(a-1)+3
a-1
=-[2(a-1)+class="stub"3
a-1
+4]

由a∈(1,+∞),a-1>0,∴2(a-1)+class="stub"3
a-1
≥2
6

当且仅当a=1+
6
2
时取等号,∴
2a2+1
1-a
≤-(2
6
+4)

x>(
2a2+1
1-a
)max=-(4+2
6
)

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