已知f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x(1)求当x<0时,f(x)的表达式(2)判断f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并用定义加以证明.-数学

题目简介

已知f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x(1)求当x<0时,f(x)的表达式(2)判断f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并用定义加以证明.-数学

题目详情

已知f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=
x

(1)求当x<0时,f(x)的表达式
(2)判断f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并用定义加以证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当x<0时,-x>0∴f(-x)=
-x

又∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)
∴x<0时,f(x)=
-x

(2)f(x)在区间(0,+∞)上单调递增 
证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
f(x1)-f(x2)=
x1
-
x2
=
x1-x2
x1
+
x2

∵x1,x2∈(0,+∞)
x1
+
x2
>0

又x1<x2,∴x1-x2<0
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.

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