已知函数f(x)=ex-ln(x+1)(I)求函数f(x)的单调区间;(II)证明:e+e12+e13+…+e1n≥ln(n+1)(n∈N*,e为常数).-数学

题目简介

已知函数f(x)=ex-ln(x+1)(I)求函数f(x)的单调区间;(II)证明:e+e12+e13+…+e1n≥ln(n+1)(n∈N*,e为常数).-数学

题目详情

已知函数f(x)=ex-ln(x+1)
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)证明:e+e
1
2
+e
1
3
+…+e
1
n
≥ln(n+1)(n∈N*,e为常数)
题型:解答题难度:中档来源:安徽模拟

答案

x>-1,f′(x)=ex-class="stub"1
x+1

(I)由于f′(x)=ex-class="stub"1
x+1
在(-1,+∞)上是增函数,且f′(0)=0,
∴当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(-1,0)时,f′(x)<0,
故函数f(x)的单调增区间(0,+∞),函数f(x)的单调减区间(-1,0).
(II)由(I)知当x=0时,f(x)取得最小值,即f(x)≥1,
∴ex-ln(x+1)≥1,即ex≥ln(x+1)+1,
取x=class="stub"1
n
,则eclass="stub"1
n
≥ln(class="stub"1
n
+1)+1=ln(n+1)-lnn+1

于是e≥ln2-ln1+1,
eclass="stub"1
2
≥ln3-ln2+1,
eclass="stub"1
3
≥ln4-ln3+1,

eclass="stub"1
n
≥ln(n+1)-lnn+1.
相加得,e+eclass="stub"1
2
+eclass="stub"1
3
+…+eclass="stub"1
n
≥ln(n+1)(n∈N*,e为常数)
,得证.

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