已知函数f(x)=a×2x-11+2x(a∈R).(I)若a=2,且f(x)=-32-22,求x的值;(II)若f(x)为奇函数,求a的值;(III)当a=5时,函数f(x)的图象是否存在对称中心,若

题目简介

已知函数f(x)=a×2x-11+2x(a∈R).(I)若a=2,且f(x)=-32-22,求x的值;(II)若f(x)为奇函数,求a的值;(III)当a=5时,函数f(x)的图象是否存在对称中心,若

题目详情

已知函数f(x)=
2x-1
1+2x
(a∈R)

(I)若a=2,且f(x)=-
3
2
-2
2
,求x的值;
(II)若f(x)为奇函数,求a的值;
(III)当a=5时,函数f(x)的图象是否存在对称中心,若存在,求其对称中心;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:安徽模拟

答案

(I)若a=2,则f(x)=
2x-1
1+2x
=
2×(2x+1)-3
1+2x
=2-class="stub"3
1+2x
≥2-class="stub"3
1
=-1,
由于-
3
2
-2
2
<-1
,故方程由f(x)=
2x-1
1+2x
=-
3
2
-2
2
无实数解.
(II)由题意知,函数的定义域是R,
∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x),
2x-1
1+2x
=-
2-x-1
1+2-x
,即
2x-1
1+2x
=-
a-2x
1+2x

解得a=1.
(III)当a=5时,f(x)=
2x-1
1+2x

假设函数f(x)的图象是否存在对称中心,设其坐标为(h,k),
则对任意x∈R,有f(h+x)+f(h-x)=2k恒成立,
2x+h-1
1+2x+h
+
2h-x-1
1+2h-x
=2k

整理得,
4-2k=0
(10-2k)×22h-2-2k=0

解得
h=0
k=2

当a=5时,函数f(x)的图象存在对称中心,其对称中心为(0,2).

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