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已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞-2）（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且

题目简介

已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞-2）（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且

题目详情

已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞-2）
（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令g（x）=x2+tx+1，对称轴方程为x=-class="stub"t
2
，
∵x∈[0，2]，∴由对称轴x=-class="stub"t
2
与区间[0，2]的位置关系进行分类讨论：
①当-class="stub"t
2
≤0，即t≥0时，g（x）min=g（0）=1，∴f（x）min=0．
②当0＜-class="stub"t
2
＜2，即-4＜t＜0时，g（x）min=g（-class="stub"t
2
）=1-
t2
4
，
考虑到g（x）＞0，所以-2＜t＜0，f（x）min=f（-class="stub"t
2
）=lg（1-
t2
4
）；
③当-class="stub"t
2
≥2，即t≤-4时，g（x）min=g（2）=5+2t，
考虑到g（x）＞0，∴f（x）没有最小值．
综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；
当t＞-2时，f（x）min=
lg(1-
t2
4
)，-2＜t＜0
0，t≥0
．
（2）假设存在．
由题设条件，得
a2+ta+1=a
b2+tb+1=b
a≠b
，
等价于x2+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，
令h（x）=x2+（t-1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点
∴
h(0)＞0
h(2)＞0
△＞0
0＜-class="stub"b
2a
＜2
，即
1＞0
t＞-class="stub"3
2
(t-1)2-4＞0
0＜-class="stub"t-1
2
＜2
，
解得-class="stub"3
2
＜t＜-1．
故实数t的取值范围是（-class="stub"3
2
，-1）．

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