首页 > 已知函数f(x)=eaxx2+xa+1a-3e249(a∈R，a≠0，)，g(x)=bx(b∈R)．（1）当a＞14时，求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若在区间[2，+∞）上存在一点x0，使得

已知函数f(x)=eaxx2+xa+1a-3e249(a∈R，a≠0，)，g(x)=bx(b∈R)．（1）当a＞14时，求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若在区间[2，+∞）上存在一点x0，使得

题目简介

已知函数f(x)=eaxx2+xa+1a-3e249(a∈R，a≠0，)，g(x)=bx(b∈R)．（1）当a＞14时，求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若在区间[2，+∞）上存在一点x0，使得

题目详情

已知函数f(x)=
eax
x2+
x
a
+
1
a
-
3e2
49
(a∈R，a≠0，)，g(x)=bx(b∈R)．
（1）当a＞
1
4
时，求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，若在区间[2，+∞）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：钟祥市模拟

答案

（1）f′(x)=
eax(ax2-x+class="stub"a-1
a
)
(x2+class="stub"x
a
+class="stub"1
a
)2
，因eax＞0且a＞class="stub"1
4
，故只需讨论ax2-x+class="stub"a-1
a
的符号
所以 ①当a≥class="stub"5
4
时，f′（x）≥0，f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数
②当class="stub"1
4
＜a＜class="stub"5
4
时，令f′（x）=0解得x1=
1-
5-4a
2a
，x2=
1+
5-4a
2a
．
当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：
x(-∞，
1-
5-4a
2a
)
1-
5-4a
2a
(
1-
5-4a
2a
，
1+
5-4a
2a
)
1+
5-4a
2a
(
1+
5-4a
2a
，+∞)
f'（x）+0-0+
f（x）↗极大值↘极小值↗
∴f（x）在(-∞，
1-
5-4a
2a
)，(
1+
5-4a
2a
，+∞)，为增函数，
f（x）在(
1-
5-4a
2a
，
1+
5-4a
2a
)为减函数．                           …（6分）
（2）考查反面情况：∀x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即h(x)=
ex
x2+x+1
-
3e2
49
-bx≥0在x∈[2，+∞）上恒成立．
首先h(2)=
e2
7
-
3e2
49
-2b≥0，即b≤
2e2
49
，其次，h′(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)
-b，考虑M(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)

因M′(x)=
ex(x2+x+1)[x3(x-2)+3x2+2x-1]
(x2+x+1)4
＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，
所以M(x)≥M(2)=
2e2
49
，
所以当b≤
2e2
49
时，h′(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)
-b≥
2e2
49
-b≥0，故h（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，
又h（2）≥0，所以h(x)=
ex
x2+x+1
-
3e2
49
-bx≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，所以b≤
2e2
49
，
综上b＞
2e2
49
…（14分）

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