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已知函数f(x)=2x2x-1+21-x+a（a∈R）（1）若f（1）=1，求实数a的值并计算f（-1）+f（3）的值；（2）若不等式f（x）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（

题目简介

已知函数f(x)=2x2x-1+21-x+a（a∈R）（1）若f（1）=1，求实数a的值并计算f（-1）+f（3）的值；（2）若不等式f（x）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（

题目详情

已知函数f(x)=
2x
2x-1+21-x
+a（a∈R）
（1）若f（1）=1，求实数a的值并计算f（-1）+f（3）的值；
（2）若不等式f（x）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=-1时，设g（x）=f（x+b），是否存在实数b使g（x）为奇函数．若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（本题12分）
（1）∵f（1）=1，
∴
21
20+20
+a=1，即1+a=1，∴a=0
∴f(x)=
2x
2x-1+21-x
，
∴f(-1)+f(3)=
2-1
2-2+22
+
23
22+2-2
=2．
（2）∵f（x）≥0，即
2x
2x-1+21-x
+a≥0，
亦即a≥-
2x
2x-1+21-x
对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
设h(x)=-
2x
2x-1+21-x
，
∵h(x)=-
2x
2x-1+21-x
=-class="stub"1
2-1+21-2x
=-class="stub"1
class="stub"1
2
+class="stub"2
22x
，
∴h（x）在x∈[1，+∞）时是增函数，所以hmin（x）=h（1）=-1
∴a≥-1即可．
故实数a的取值范围是[-1，+∞）．
（3）∵a=-1，
∴f(x)=
2x
2x-1+21-x
-1=
2x-2x-1-21-x
2x-1+21-x
=
2x-1-21-x
2x-1+21-x
，
∴g(x)=f(x+b)=
2x+b-1-21-b-x
2x+b-1+21-b-x
，
方法一：
∵g（x）是奇函数，且x∈R，∴g（0）=0
∴g(0)=
2b-1-21-b
2b-1+21-b
=0，∴2b-1=21-b，即2b-1=1，所以b=1．
当b=1时，g(x)=
2x-2-x
2x+2-x
，∵g(-x)=
2-x-2x
2-x+2x
=-
2x-2-x
2x+2-x
=-g(x)，
∴g（x）是奇函数．
故存在b=1，使g（x）是奇函数．
方法二：
∵g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），令b-1=c
即
2-x+c-2-c+x
2-x+c+2-c+x
=-
2x+c-2-c-x
2x+c+2-c-x

∴22c+2-2x-22x-2-2c=-（22c+22x-2-2x-2-2c）
∴22c-2-2c=0，即24c=1，即c=0，即b=1．
方法三：【这种做法也给分】
当b=1时，g(x)=
2x-2-x
2x+2-x
，
∵g(-x)=
2-x-2x
2-x+2x
=-
2x-2-x
2x+2-x
=-g(x)，∴g（x）是奇函数．
所以存在b=1，使g（x）是奇函数．

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