已知定义域为R的奇函数f（x）满足f(log2x)=-x+ax+1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断并证明f（x）在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t

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已知定义域为R的奇函数f（x）满足f(log2x)=

-x+a

x+1

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）函数f（x）的定义域为R，又f（x）满足f（-x）=-f（x），
所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
在f(log2x)=class="stub"-x+a

x+1

中令x=1得出f（0）=class="stub"a-1

0，所以a=1
令log2x=t，则x=2t，y=f（t）=f(x)=

-2t+1

2t+1

（t∈R）
所以f(x)=

-2x+1

2x+1

（2）减函数
证明：任取 x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2-x1＞0，
由（1）f(x2)-f(x1)=

1-2x2

1+2x2

1-2x1

1+2x1

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

∵x1＜x2，
∴0＜2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0
∴f（ x2）-f（ x1）＜0
∴该函数在定义域R上是减函数
（3）由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
∵f（x）是奇函数∴f（t2-2t）＜f（k-2t2），由（2），f（x）是减函数
∴原问题转化为t2-2t＞k-2t2，
即3t2-2t-k＞0对任意t∈R恒成立∴△=4+12k＜0，得k＜-class="stub"1

即为所求．

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已知定义域为R的奇函数f（x）满足f(log2x)=-x+ax+1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断并证明f（x）在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t

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