已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx+2cos2x,x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(Ⅱ)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到

题目简介

已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx+2cos2x,x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(Ⅱ)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到

题目详情

已知函数f(x)=sin2x+
3
sinxcosx+2cos2x,x∈R.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(Ⅱ)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)f(x)=class="stub"1-cos2x
2
+
3
2
sin2x+(1+cos2x)

=
3
2
sin2x+class="stub"1
2
cos2x+class="stub"3
2

=sin(2x+class="stub"π
6
)+class="stub"3
2

∴f(x)的最小正周期T=class="stub"2π
2

由题意得2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
,k∈Z

kπ-class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6
,k∈Z

∴f(x)的单调增区间为[kπ-class="stub"π
3
,kπ+class="stub"π
6
],k∈Z

(II)先把y=sin2x图象上所有点向左平移class="stub"π
12
个单位长度,得到y=sin(2x+class="stub"π
6
)
的图象,
再把所得图象上所有的点向上平移class="stub"3
2
个单位长度,就得到y=sin(2x+class="stub"π
6
)+class="stub"3
2
的图象.

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