已知函数f(x)=sinxcosx+3cos2x.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间[-π6,π2]上的最大值和最小值.-高三数学

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已知函数f(x)=sinxcosx+3cos2x.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间[-π6,π2]上的最大值和最小值.-高三数学

题目详情

已知函数f(x)=sinxcosx+
3
cos2x.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在区间[-
π
6
π
2
]上的最大值和最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵f(x)=sinxcosx+
3
cos2x
=class="stub"1
2
•2sinxcosx+
3
2
(cos2x+1)

=class="stub"1
2
sin2x+
3
2
cos2x+
3
2
=sin(2x+class="stub"π
3
)+
3
2
,∴函数f(x)的最小正周期T=class="stub"2π
2

(Ⅱ)∵-class="stub"π
6
≤x≤class="stub"π
2
0≤2x+class="stub"π
3
≤class="stub"4π
3
,∴-
3
2
≤sin(2x+class="stub"π
3
)≤1

0≤sin(2x+class="stub"π
3
)+
3
2
≤1+
3
2
=
2+
3
2
,∴f(x)在区间[-class="stub"π
6
,class="stub"π
2
]
上的最大值为
2+
3
2
,最小值为0.

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