首页 > 已知α、β为锐角，向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），c=（12，-12）．（1）若a•b=22，a•c=3-14，求角2β-α的值；（2）若a=b+c，求tanα的值．-数学

已知α、β为锐角，向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），c=（12，-12）．（1）若a•b=22，a•c=3-14，求角2β-α的值；（2）若a=b+c，求tanα的值．-数学

题目简介

已知α、β为锐角，向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），c=（12，-12）．（1）若a•b=22，a•c=3-14，求角2β-α的值；（2）若a=b+c，求tanα的值．-数学

题目详情

已知α、β为锐角，向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），
c
=（
1
2
，-
1
2
）．
（1）若
a
•
b
=
2
2
，
a
•
c
=
3
-1
4
，求角2β-α的值；
（2）若
a
=
b
+
c
，求tanα的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
a
•
b
=（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ），
=cosαcosβ+sinαsinβ
=cos（α-β）=
2
2
，①
a
•
c
=（cosα，sinα）•（class="stub"1
2
，-class="stub"1
2
），
=class="stub"1
2
cosα-class="stub"1
2
sinα=
3
-1
4
，②
又∵0＜α＜class="stub"π
2
，0＜β＜class="stub"π
2
，
∴-class="stub"π
2
＜α-β＜class="stub"π
2
．
由①得α-β=±class="stub"π
4
，由②得α=class="stub"π
6
．
由α、β为锐角，∴β=class="stub"5π
12
．
从而2β-α=class="stub"2
3
π．
（2）由
a
=
b
+
c
可得
cosα=cosβ+class="stub"1
2
sinα=sinβ-class="stub"1
2
，
③2+④2得cosα-sinα=class="stub"1
2
，∴2sinαcosα=class="stub"3
4
．
又∵2sinαcosα=class="stub"2sinαcosα
sin2α+cos2α

=class="stub"2tanα
tan2α+1
=class="stub"3
4
，
∴3tan2α-8tanα+3=0．
因为cosα-sinα＞0 所以cosα＞sinα又因为α为锐角，所以tanα＜1，
又∵α为锐角，∴tanα＞0，
∴tanα=
8-
82-4×3×3
6

=
4-
7
3
．

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