已知各项均为正数的数列{an},满足:a1=3,且2an+1-an2an-an+1=anan+1,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn=a12+a22+…+an2,Tn=1a21+1

题目简介

已知各项均为正数的数列{an},满足:a1=3,且2an+1-an2an-an+1=anan+1,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn=a12+a22+…+an2,Tn=1a21+1

题目详情

已知各项均为正数的数列{an},满足:a1=3,且
2an+1-an
2an-an+1
=anan+1
,n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn=a12+a22+…+an2Tn=
1
a21
+
1
a22
+…+a
1
a2n
,求Sn+Tn,并确定最小正整数n,使Sn+Tn为整数.
题型:解答题难度:中档来源:江西

答案

(1)条件可化为an+1-class="stub"1
an+1
=2(an-class="stub"1
an
)

因此{an-class="stub"1
an
}为一个等比数列,其公比为2,首项为a1-class="stub"1
a1
=class="stub"8
3

所以an-class="stub"1
an
=class="stub"8
3
×2n-1=
2n+2
3
(n∈N*)

因an>0,由1°式解出an=class="stub"1
3
(2n+1+
22n+2+9
)

(2)由1°式有Sn+Tn=(a1-class="stub"1
a1
)2+(a2-class="stub"1
a2
)2+…+(an-class="stub"1
an
)2+2n

=(
23
3
)2+(
24
3
)2+(
25
3
)2++(
2n+2
3
)2+2n

=class="stub"64
27
(4n-1)+2n(n∈N*)

为使Sn+Tn=class="stub"64
27
(4n-1)+2n(n∈N*)
为整数,
当且仅当
4n-1
27
为整数.
当n=1,2时,显然Sn+Tn不为整数,
当n33时,4n-1=(1+3)n-1=Cn1×3+Cn2×32+33(Cn3++3n-3Cnn)
∴只需
3
C1n
+32
C2n
27
=class="stub"n
9
•class="stub"3n-1
2
为整数,
因为3n-1与3互质,
所以为9的整数倍.
当n=9时,class="stub"n
9
•class="stub"3n-1
2
=13为整数,
故n的最小值为9.

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