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> 已知函数f(x)=4x+1,g(x)=2x,x∈R,数列{an},{bn},{cn}满足条件:a1=1,an=f(bn)=g(bn+1)(n∈N*),cn=1[12f(n)+12][g(n)+3].(
已知函数f(x)=4x+1,g(x)=2x,x∈R,数列{an},{bn},{cn}满足条件:a1=1,an=f(bn)=g(bn+1)(n∈N*),cn=1[12f(n)+12][g(n)+3].(
题目简介
已知函数f(x)=4x+1,g(x)=2x,x∈R,数列{an},{bn},{cn}满足条件:a1=1,an=f(bn)=g(bn+1)(n∈N*),cn=1[12f(n)+12][g(n)+3].(
题目详情
已知函数f(x)=4x+1,g(x)=2x,x∈R,数列{a
n
},{b
n
},{c
n
}满足条件:a
1
=1,a
n
=f(b
n
)=g(b
n+1
)(n∈N
*
),
c
n
=
1
[
1
2
f(n)+
1
2
][g(n)+3]
.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{c
n
}的前n项和T
n
,并求使得
T
n
>
m
150
对任意n∈N
*
都成立的最大正整数m;
(Ⅲ)求证:
a
1
a
2
+
a
2
a
3
+…+
a
n
a
n+1
>
n
2
-
1
3
.
题型:解答题
难度:中档
来源:崇文区一模
答案
(Ⅰ)由题意an+1=4bn+1+1,an=2bn+1,
∴an+1=2an+1,(2分)
∴an+1+1=2(an+1),
∵a1=1,
∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.(4分)
∴.an+1=2×2n-1
∴an=2n-1.(5分)
(Ⅱ)∵
c
n
=
class="stub"1
(2n+1)(2n+3)
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
2n+1
-
class="stub"1
2n+3
)
,(7分)
∴
T
n
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
3
-
class="stub"1
5
+
class="stub"1
5
-
class="stub"1
7
++
class="stub"1
2n+1
-
class="stub"1
2n+3
)
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
3
-
class="stub"1
2n+3
)=
class="stub"n
3×(2n+3)
=
class="stub"n
6n+9
.(8分)
∵
T
n+1
T
n
=
class="stub"n+1
6n+15
•
class="stub"6n+9
n
=
6
n
2
+15n+9
6
n
2
+15n
>1
,
∴Tn<Tn+1,n∈N*.
∴当n=1时,Tn取得最小值
class="stub"1
15
.(10分)
由题意得
class="stub"1
15
>
class="stub"m
150
,得m<10.
∵m∈Z,
∴由题意得m=9.(11分)
(Ⅲ)证明:
∵
a
k
a
k+1
=
2
k
-1
2
k+1
-1
=
class="stub"1
2
-
class="stub"1
2(
2
k+1
-1)
=
class="stub"1
2
-
class="stub"1
3×
2
k
+
2
k
-2
≥
class="stub"1
2
-
class="stub"1
3
•
class="stub"1
2
k
,
k=1,2,3,,n(12分)
∴
a
1
a
2
+
a
2
a
3
++
a
n
a
n+1
≥
class="stub"n
2
-
class="stub"1
3
(
class="stub"1
2
+
class="stub"1
2
2
++
class="stub"1
2
n
)=
class="stub"n
2
-
class="stub"1
3
(1-
class="stub"1
2
n
)
.
∴
a
1
a
2
+
a
2
a
3
++
a
n
a
n+1
>
class="stub"n
2
-
class="stub"1
3
(n∈N*).(14分)
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已知数列{an}为等差数列,Sn为前
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题目简介
已知函数f(x)=4x+1,g(x)=2x,x∈R,数列{an},{bn},{cn}满足条件:a1=1,an=f(bn)=g(bn+1)(n∈N*),cn=1[12f(n)+12][g(n)+3].(
题目详情
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{cn}的前n项和Tn,并求使得Tn>
(Ⅲ)求证:
答案
∴an+1=2an+1,(2分)
∴an+1+1=2(an+1),
∵a1=1,
∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.(4分)
∴.an+1=2×2n-1
∴an=2n-1.(5分)
(Ⅱ)∵cn=
∴Tn=
∵
∴Tn<Tn+1,n∈N*.
∴当n=1时,Tn取得最小值
由题意得
∵m∈Z,
∴由题意得m=9.(11分)
(Ⅲ)证明:
∵
k=1,2,3,,n(12分)
∴
∴