已知函数f(x)=log2x,且数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列.(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)设bn=an•f(an),求数列{bn}的前n项和Sn的最小值..-数学

题目简介

已知函数f(x)=log2x,且数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列.(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)设bn=an•f(an),求数列{bn}的前n项和Sn的最小值..-数学

题目详情

已知函数f(x)=log
2
x
,且数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列.
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)设bn=an•f(an),求数列{bn}的前n项和Sn的最小值..
题型:解答题难度:中档来源:韶关一模

答案

(1)证明:∵函数f(x)=log
2
x
,且数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列.
log
2
an
=2+(n-1)×2=2n
an=2n
an+1
an
=2

∴数列{an}是等比数列;(7分)
(2)由(1)知,bn=an•f(an)=n•2n+1.…(8分)
Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1,①
2Sn=1•23+2•24+3•25+…+n•2n+2②…(10分)
②-①,得Sn=-22-23-24-…-2n+1+n•2n+2=-
22(1-2n)
1-2
+n•2n+2

Sn=(n-1)2n+2+4…(12分)
∵Sn+1-Sn=(n+1)×2n+2>0
∴{Sn}是递增数列,所以Sn的最小值等于S1=4…(14分)

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