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> 已知函数f(x)=log2x,且数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列.(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)设bn=an•f(an),求数列{bn}的前n项和Sn的最小值..-数学
已知函数f(x)=log2x,且数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列.(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)设bn=an•f(an),求数列{bn}的前n项和Sn的最小值..-数学
题目简介
已知函数f(x)=log2x,且数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列.(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)设bn=an•f(an),求数列{bn}的前n项和Sn的最小值..-数学
题目详情
已知函数
f(x)=lo
g
2
x
,且数列{f(a
n
)}是首项为2,公差为2的等差数列.
(1)求证:数列{a
n
}是等比数列;
(2)设b
n
=a
n
•f(a
n
),求数列{b
n
}的前n项和S
n
的最小值..
题型:解答题
难度:中档
来源:韶关一模
答案
(1)证明:∵函数
f(x)=lo
g
2
x
,且数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列.
∴
lo
g
2
a
n
=2+(n-1)×2=2n
∴
a
n
=
2
n
∵
a
n+1
a
n
=2
∴数列{an}是等比数列;(7分)
(2)由(1)知,
b
n
=
a
n
•f(
a
n
)=n•
2
n+1
.…(8分)
∴
S
n
=1•
2
2
+2•
2
3
+3•
2
4
+…+n•
2
n+1
,①
2
S
n
=1•
2
3
+2•
2
4
+3•
2
5
+…+n•
2
n+2
②…(10分)
②-①,得
S
n
=-
2
2
-
2
3
-
2
4
-…-
2
n+1
+n•
2
n+2
=
-
2
2
(1-
2
n
)
1-2
+n•
2
n+2
∴
S
n
=(n-1)
2
n+2
+4
…(12分)
∵Sn+1-Sn=(n+1)×2n+2>0
∴{Sn}是递增数列,所以Sn的最小值等于S1=4…(14分)
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∴log
∴an=2n
∵
∴数列{an}是等比数列;(7分)
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∴Sn=(n-1)2n+2+4…(12分)
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∴{Sn}是递增数列,所以Sn的最小值等于S1=4…(14分)