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已知数列{an}满足：an+1=an+(12)n+1(n∈N*)，且a1=1；设bn=12an-34．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若cn=2n-1（n∈N*），求数列{bn•cn}的前n项和

题目简介

已知数列{an}满足：an+1=an+(12)n+1(n∈N*)，且a1=1；设bn=12an-34．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若cn=2n-1（n∈N*），求数列{bn•cn}的前n项和

题目详情

已知数列{an}满足：an+1=an+(
1
2
)n+1(n∈N*)，且a1=1；设bn=
1
2
an-
3
4
．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=2n-1（n∈N*），求数列{bn•cn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵an+1=an+(class="stub"1
2
)n+1(n∈N*)，且a1=1，
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)3+…+(class="stub"1
n
)n=1+
class="stub"1
4
[1-(class="stub"1
2
)n-1]
1-class="stub"1
2
=class="stub"3
2
-(class="stub"1
2
)n．
又∵当n=1时，上式也成立，∴an=class="stub"3
2
-(class="stub"1
2
)n(n∈N*)．
（Ⅱ）∵bn=class="stub"1
2
an-class="stub"3
4
=class="stub"1
2
[class="stub"3
2
-(class="stub"1
2
)n]-class="stub"3
4
=-class="stub"1
2
n+1(n∈N*)，
又∵cn=2n-1(n∈N*)，
∴Sn=b1•c1+b2•c2+…+bn•cn
∴Sn=-(class="stub"1
2
)2-3×(class="stub"1
2
)3-5×(class="stub"1
2
)4-…-(2n-1)×(class="stub"1
2
)n+1①
∴class="stub"1
2
Sn=-(class="stub"1
2
)3-3×(class="stub"1
2
)4-…-(2n-3)×(class="stub"1
2
)n+1-(2n-1)×(class="stub"1
2
)n+2②
①-②得：class="stub"1
2
Sn=-(class="stub"1
2
)2-2×(class="stub"1
2
)3-2×(class="stub"1
2
)4-…-2×(class="stub"1
2
)n+1+(2n-1)×(class="stub"1
2
)n+2
=-class="stub"1
4
-2[(class="stub"1
2
)3+(class="stub"1
2
)4+…+(class="stub"1
2
)n+1]+(2n-1)(class="stub"1
2
)n+2=-class="stub"3
4
+class="stub"2n+3
2n+2

∴Sn=-class="stub"3
2
+class="stub"2n+3
2n+1
．

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