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已知函数f（x）=logmx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（an）}是首项为2，公差为2的等差数列．（1）若bn=an•f（an），当m=22时，求数列{bn}的前n项和Sn；（2）设cn=a

题目简介

已知函数f（x）=logmx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（an）}是首项为2，公差为2的等差数列．（1）若bn=an•f（an），当m=22时，求数列{bn}的前n项和Sn；（2）设cn=a

题目详情

已知函数f（x）=logmx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（an）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）若bn=an•f（an），当m=
2
2
时，求数列{bn}的前n项和Sn；
（2）设cn=an•lgan，如果{cn}中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：惠州一模

答案

（1）由题意得f（an）=2+2（n-1）=logman，可得2n=logman，…（1分）
∴an=m2n．…（2分）
bn=an•f（an）=2n•m2n．
∵m=
2
2
，∴bn=an•f（an）=2n•（
2
2
）2n=n•（class="stub"1
2
）n-1，…（3分）
∴Sn=1•（class="stub"1
2
）0+2•（class="stub"1
2
）1+3•（class="stub"1
2
）2+…+n•（class="stub"1
2
）n-1，①
class="stub"1
2
Sn=1•（class="stub"1
2
）1+2•（class="stub"1
2
）2+3•（class="stub"1
2
）3+…+n•（class="stub"1
2
）n，②…（4分）
①-②，得class="stub"1
2
Sn=（class="stub"1
2
）0+（class="stub"1
2
）1+（class="stub"1
2
）2+…+（class="stub"1
2
）n-1-n•（class="stub"1
2
）n=
1-class="stub"1
2n
1-class="stub"1
2
-n•(class="stub"1
2
)n…（6分）
∴化简得：Sn=-（n+2）（class="stub"1
2
）n-1+4  …（7分）
（2）由（Ⅰ）知，cn=an•lgan=2n•m2nlgm，要使cn＜cn+1对一切n∈N*成立，
即nlgm＜（n+1）m2lgm对一切n∈N*成立．…（8分）
∵0＜m＜1，可得lgm＜0
∴原不等式转化为n＞（n+1）m2，对一切n∈N*成立，
只需m2＜（class="stub"n
n+1
）min即可，…（10分）
∵h（n）=class="stub"n
n+1
在正整数范围内是增函数，∴当n=1时，（class="stub"n
n+1
）min=class="stub"1
2
．…（12分）
∴m2＜class="stub"1
2
，且0＜m＜1，，∴0＜m＜
2
2
．…（13分）
综上所述，存在实数m∈（0，
2
2
）满足条件．…（14分）

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