已知函数f(x)=7x+5x+1,数列{an}满足:2an+1-2an+an+1an=0且an≠0.数列{bn}中,b1=f(0)且bn=f(an-1)(1)求证:数列{1an}是等差数列;(2)求数

题目简介

已知函数f(x)=7x+5x+1,数列{an}满足:2an+1-2an+an+1an=0且an≠0.数列{bn}中,b1=f(0)且bn=f(an-1)(1)求证:数列{1an}是等差数列;(2)求数

题目详情

已知函数f(x)=
7x+5
x+1
,数列{an}满足:2an+1-2an+an+1an=0且an≠0.数列{bn}中,b1=f(0)且bn=f(an-1)
(1)求证:数列{
1
an
}
是等差数列;(2)求数列{|bn|}的前n项和Tn
(3)是否存在自然数n,使得(2)中的Tn∈(480,510).若存在,求出所有的n;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由2an+1-2an+an+1an=0,
class="stub"1
an+1
-class="stub"1
an
=class="stub"1
2

所以,数列{class="stub"1
an
}
是等差数列.
(2)∵b1=f(0)=5,
7(a1-1)+5
a1-1+1
=5

7a1-2=5a1,
∴a1=1,class="stub"1
an
=1+(n-1)class="stub"1
2

an=class="stub"2
n+1
.bn=
7an-2
an
=7-(n+1)=6-n

当n≤6时,Tn=class="stub"n
2
(5+6-n)=
n(11-n)
2

当n≥7时,Tn=15+class="stub"n-6
2
(1+n-6)=
n2-11n+60
2

所以,Tn=
n(11-n)
2
,n≤6
n2-11n+60
2
,n≥7

(3)不存在这样的自然数.
如果存在必定n>7,
而在n>7时Tn是递增的,
而n=36时,
Tn=480,
n=37时,Tn=511,
所以不存在这样的自然数.

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