首页 > 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-n+2nan(n∈N*)．（I）求证：an+1an=n+12n；（II）求an及Sn；（III）求证：a21+a22+a23+…+a2n＜4964．-数学

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-n+2nan(n∈N*)．（I）求证：an+1an=n+12n；（II）求an及Sn；（III）求证：a21+a22+a23+…+a2n＜4964．-数学

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-n+2nan(n∈N*)．（I）求证：an+1an=n+12n；（II）求an及Sn；（III）求证：a21+a22+a23+…+a2n＜4964．-数学

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-
n+2
n
an(n∈N*)．
（I）求证：
an+1
an
=
n+1
2n
；
（II）求an及Sn；
（III）求证：
a21
+
a22
+
a23
+…+
a2n
＜
49
64
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（ I）Sn=2-class="stub"n+2
n
an(n∈N*)，（1）Sn+1=2-class="stub"n+3
n+1
an+1，（2）（2分）
（2）-（1），得an+1=class="stub"n+2
n
an-class="stub"n+3
n+1
an+1，∴
an+1
an
=class="stub"n+1
2n
．（3分）
（ II）当n=1时，a1=S1=2-class="stub"1+2
1
a1，a1=class="stub"1
2
；                          （4分）
由（ I），得an=a1•
a2
a1
•
a3
a2
•
a4
a3
•…•
an
an-1
=class="stub"1
2
•class="stub"2
2×1
•class="stub"3
2×2
•class="stub"4
2×3
•…•class="stub"n
2(n-1)
=class="stub"n
2n

即an=class="stub"n
2n
                                             （7分）
将an=class="stub"n
2n
代入Sn=2-class="stub"n+2
n
an(n∈N*)，得Sn=
2n+1-n-2
2n
．（8分）
（ III）由an=class="stub"n
2n
，则即证(class="stub"1
2
)2+(class="stub"2
22
)2+(class="stub"3
23
)2+…+(class="stub"n
2n
)2＜class="stub"49
64

下证：当n≥4，n∈N*时，2n≥n2．
①当n=4时，24=42，成立；当n=5时，25＞52，成立；              （9分）
②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时，成立，即2k≥k2，则
当n=k+1时，2k+1≥2k2，令f（k）=2k2-（k+1）2=k2-2k-1，k≥4，k∈N*，当k=4时有最小值7，故2k2＞（k+1）2，
∴2k+1≥（k+1）2，即n=k+1成立；
由①②得结论成立．（11分）
于是，(class="stub"k
2k
)2＜class="stub"1
2k
．
令k=4，5，6，…，n，各式相加，得(class="stub"4
24
)2+(class="stub"5
25
)2+(class="stub"6
26
)2+…+(class="stub"n
2n
)2＜class="stub"1
8
-class="stub"1
2n
，
又(class="stub"1
2
)2+(class="stub"2
22
)2+(class="stub"3
23
)2=class="stub"41
64
，
两式相加，得(class="stub"1
2
)2+(class="stub"2
22
)2+(class="stub"3
23
)2+…+(class="stub"n
2n
)2＜class="stub"49
64
-class="stub"1
2n
＜class="stub"49
64
．（12分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网