设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足Sn=(an+12)2①先求出a1,a2,a3,a4的值,然后猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.②设bn=1anan+1,数列{bn}的前n项

题目简介

设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足Sn=(an+12)2①先求出a1,a2,a3,a4的值,然后猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.②设bn=1anan+1,数列{bn}的前n项

题目详情

设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足Sn=(
an+1
2
)2

①先求出a1,a2,a3,a4的值,然后猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
②设bn=
1
anan+1
,数列{bn}的前n项和为Tn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

①在 Sn=(
an+1
2
)2
中,令n=1可得,a1=(
a1+1
2
)
2
,∴a1=1. 令n=2 可得,1+a2=(
a2+1
2
)
2

 a2 =3,同理可求,a3=5,a4=7.
猜测an=2n-1.
证明:当n=1时,猜测显然成立,假设   ak=2k-1,
则由  ak+1=sk+1-sk=(
ak+1+1
2
)
2
-(
ak+1
2
)
2
=(
ak+1+1
2
)
2
-k2,解得 ak+1=2k+1,
故n=k+1时,猜测仍然成立,
③∵bn=class="stub"1
anan+1
=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
 ),
∴Tn=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
 -class="stub"1
5
)+( class="stub"1
5
- class="stub"1
7
)+…+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
 )
=class="stub"n
2n+1

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