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> 各项均为正数的数列{an}，a1=12，a2=45，且对满足m+n=p+q的任意正整数m，n，p，q都有am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq)（I）求通项an；（II）
各项均为正数的数列{an}，a1=12，a2=45，且对满足m+n=p+q的任意正整数m，n，p，q都有am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq)（I）求通项an；（II）
题目简介
各项均为正数的数列{an}，a1=12，a2=45，且对满足m+n=p+q的任意正整数m，n，p，q都有am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq)（I）求通项an；（II）
题目详情
各项均为正数的数列{a
n
}，a
1
=
1
2
，
a
2
=
4
5
，且对满足m+n=p+q的任意正整数m，n，p，q都有
a
m
+
a
n
(1+
a
m
)(1+
a
n
)
=
a
p
+
a
q
(1+
a
p
)(1+
a
q
)
（I）求通项a
n
；
（II）记c
n
=a
n+1
-a
n
（n∈N
*
），设数列{c
n
}的前n项和为T
n
，求证：对任意正整数n都有T
n
＜
2
3
．
题型：解答题
难度：中档
来源：不详
答案
（I）解法一：特征根法，令
α=
class="stub"2α+1
α+2
得α=1
∴
a
n
-1=
2
a
n-1
+1
a
n-1
+2
-1=
a
n-1
-1
a
n-1
+2
∴
class="stub"1
a
n
-1
=
a
n-1
+2
a
n-1
-1
=
class="stub"3
a
n-1
-1
+1
再利用构造新数列求通项公式
设
class="stub"1
a
n
-1
-p=3(
class="stub"1
a
n-1
-1
-p)
∴
class="stub"1
a
n
-1
=
class="stub"3
a
n-1
-1
-2p
∴
-2p=1∴p=-
class="stub"1
2
∴
class="stub"1
a
n
-1
+
class="stub"1
2
=3(
class="stub"1
a
n-1
-1
+
class="stub"1
2
)
又
class="stub"1
a
n
-1
+
class="stub"1
2
=-
class="stub"3
2
∴
class="stub"1
a
n
-1
=-
class="stub"1
2
•
3
n
-
class="stub"1
2
∴
a
n
-1=-
class="stub"2
3
n
+1
∴
a
n
=
3
n
-1
3
n
+1
解法二：由
a
m
+
a
n
(1+
a
m
)(1+
a
n
)
=
a
p
+
a
q
(1+
a
p
)(1+
a
q
)
得
a
1
+
a
n
(1+
a
1
)(1+
a
n
)
=
a
2
+
a
n-1
(1+
a
2
)(1+
a
n-1
)
将a1=
class="stub"1
2
，
a
2
=
class="stub"4
5
，代入化简得
an=
2
a
n-1
+1
a
n-1
+2
所以
1-
a
n
1+
a
n
=
class="stub"1
3
1-
a
n-1
1+
a
n-1
故数列{
1-
a
n
1+
a
n
}为等比数列，从而
1-
a
n
1+
a
n
=
class="stub"1
3
n
，an=
3
n
-1
3
n
+1
（II）∵
a
n
=
3
n
-1
3
n
+1
=1-
class="stub"2
3
n
+1
∴
c
n
=
a
n+1
-
a
n
=1-
class="stub"2
3
n+1
+1
-1+
class="stub"2
3
n
+1
=
4•
3
n
(
3
n
+1)(
3
n+1
+1)
=
4•
3
n
3
2n+1
+4•
3
n
+1
=
class="stub"4
3
n+1
+4+
class="stub"1
3
n
＜
class="stub"4
3
n+1
∴
T
n
=
c
1
+
c
2
+…+
c
n
＜4(
class="stub"1
3
2
+
class="stub"1
3
3
+…+
class="stub"1
3
n+1
)=4•
class="stub"1
9
(1-
class="stub"1
3
n
)
1-
class="stub"1
3
=
class="stub"2
3
(1-
class="stub"1
3
n
)＜
class="stub"2
3
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数列{an}的通项公式an=ncosnπ
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数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n
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已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，对任意的正整数n都有an•an+1≠1，an•an+1•an+2=an+an+1+an+2，则a1+a2+a3+…+a2006=______．-数学
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题目简介
各项均为正数的数列{an}，a1=12，a2=45，且对满足m+n=p+q的任意正整数m，n，p，q都有am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq)（I）求通项an；（II）
题目详情
（I）求通项an；
（II）记cn=an+1-an（n∈N*），设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
答案
∴an-1=
∴
再利用构造新数列求通项公式
设
∴
∴
∴
∴an-1=-
∴an=
解法二：由
得
将a1=
an=
所以
故数列{
（II）∵an=
∴cn=an+1-an=1-
=
∴Tn=c1+c2+…+cn＜4(