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> 已知函数f(x)=x2x+1,数列{an}满足a1=f(1),an+1=f(an)(n∈N*).(Ⅰ)求a1,a2的值;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)设bn=an•an+1,求数列{bn}的前
已知函数f(x)=x2x+1,数列{an}满足a1=f(1),an+1=f(an)(n∈N*).(Ⅰ)求a1,a2的值;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)设bn=an•an+1,求数列{bn}的前
题目简介
已知函数f(x)=x2x+1,数列{an}满足a1=f(1),an+1=f(an)(n∈N*).(Ⅰ)求a1,a2的值;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)设bn=an•an+1,求数列{bn}的前
题目详情
已知函数
f(x)=
x
2x+1
,数列{a
n
}满足a
1
=f(1),a
n+1
=f(a
n
)(n∈N
*
).
(Ⅰ)求a
1
,a
2
的值;
(Ⅱ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅲ)设b
n
=a
n
•a
n+1
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
,并比较S
n
与
n
2
n
+18
.
题型:解答题
难度:中档
来源:北京模拟
答案
(Ⅰ)a1=f(1)=
class="stub"1
2+1
=
class="stub"1
3
,a2=f(a1)=f(
class="stub"1
3
)=
class="stub"1
3
class="stub"2
3
+1
=
class="stub"1
5
;
(Ⅱ)∵
a
n+1
=
a
n
2
a
n
+1
,
∴
class="stub"1
a
n+1
=
2
a
n
+1
a
n
=2+
class="stub"1
a
n
∴
class="stub"1
a
n+1
-
class="stub"1
a
n
=2
∵a1=
class="stub"1
3
,∴
class="stub"1
a
1
=3
∴数列
{
class="stub"1
a
n
}
是首项为3,公差为2的等差数列,
∴
class="stub"1
a
n
=2n+1
,
∴
a
n
=
class="stub"1
2n+1
(Ⅲ)
b
n
=
a
n
•
a
n+1
=
class="stub"1
(2n+1)(2n+3)
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
2n+1
-
class="stub"1
2n+3
)
,
∴
S
n
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
3
-
class="stub"1
5
+
class="stub"1
5
-
class="stub"1
7
+…+
class="stub"1
2n+1
-
class="stub"1
2n+3
)=
class="stub"n
6n+9
n=1时,S1=
class="stub"1
15
,
class="stub"n
2
n
+18
=
class="stub"1
20
,Sn大于
class="stub"n
2
n
+18
;
n=2时,S2=
class="stub"2
21
,
class="stub"n
2
n
+18
=
class="stub"1
11
,Sn大于
class="stub"n
2
n
+18
,
n=3时,S3=
class="stub"1
9
,
class="stub"n
2
n
+18
=
class="stub"3
26
,Sn小于
class="stub"n
2
n
+18
;
n=4时,S4=
class="stub"4
33
,
class="stub"n
2
n
+18
=
class="stub"2
17
,Sn大于
class="stub"n
2
n
+18
;
猜想n≥4时,Sn大于
class="stub"n
2
n
+18
;
证明如下:①n=4时,S4=
class="stub"4
33
,
class="stub"n
2
n
+18
=
class="stub"2
17
,Sn大于
class="stub"n
2
n
+18
,结论成立;
②假设n=k时,结论成立,即
class="stub"k
6k+9
>
class="stub"k
2
k
+18
,∴2k>6k-9
n=k+1时,有2k+1+18>2(6k-9)+18>6(k+1)+9,
∴
class="stub"k+1
6(k+1)+9
>
class="stub"k+1
2
k+1
+18
,结论成立
由①②可知,结论成立.
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答案
(Ⅱ)∵an+1=
∴
∴
∵a1=
∴数列{
∴
∴an=
(Ⅲ)bn=an•an+1=
∴Sn=
n=1时,S1=
n=2时,S2=
n=3时,S3=
n=4时,S4=
猜想n≥4时,Sn大于
证明如下:①n=4时,S4=
②假设n=k时,结论成立,即
n=k+1时,有2k+1+18>2(6k-9)+18>6(k+1)+9,
∴
由①②可知,结论成立.