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求证：C0n+3C1n+5C2n+…+(2n+1)Cnn=(n+1)2n．-数学

题目简介

求证：C0n+3C1n+5C2n+…+(2n+1)Cnn=(n+1)2n．-数学

题目详情

求证：

C

0n

+3

C

1n

+5

C

2n

+…+(2n+1)

C

nn

=(n+1)2n．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：设Sn=

C

0n

+3

C

1n

+5

C

2n

+…+(2n+1)

C

nn

①
把①式右边倒转过来得Sn=(2n+1)

C

nn

+(2n-1)

C

n-1n

+…+3

C

1n

+

C

0n

，
又由

C

mn

=

C

n-mn

可得Sn=(2n+1)

C

0n

+(2n-1)

C

1n

+…+3

C

n-1n

+

C

nn

②
①+②得 2Sn=(2n+2)(

C

0n

+

C

1n

+…+

C

n-1n

+

C

nn

)=2(n+1)•2n，
∴Sn=(n+1)•2n，
即：

C

0n

+3

C

1n

+5

C

2n

+…+(2n+1)

C

nn

=(n+1)2n，
原等式得证．

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