首页 > 设f（x），g（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），若a1=12，an=f(n)(n∈N*)，且b1=1，bn=g

设f（x），g（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），若a1=12，an=f(n)(n∈N*)，且b1=1，bn=g

题目简介

设f（x），g（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），若a1=12，an=f(n)(n∈N*)，且b1=1，bn=g

题目详情

设f（x），g（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），若a1=
1
2
，an=f(n)(n∈N*)，且b1=1，bn=g(n)(n∈N*)，则数列{anbn}的前n项和为Sn为（　　）
A．
n(n+1)
2
B．n+1-
1
2n
C．
3n
2
D．2-
n+2
2n
题型：单选题难度：中档来源：安徽模拟

答案

∵f（x）f（y）=f（x+y），
∴令x=1，y=n可得
f(n+1)
f(n)
=f(1)=a1=class="stub"1
2

∴
an+1
an
=class="stub"1
2

∴{an}是以class="stub"1
2
为首项，class="stub"1
2
为公比的等比数列
∴an=class="stub"1
2n

∵g（x）+g（y）=g（x+y），
∴∴令x=1，y=n可得g（1）+g（n）=g（n+1）
∴bn+1-bn=g（1）=b1=1
∴数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴bn=n
∴数列{anbn}的前n项和为Sn=1×class="stub"1
2
+2×class="stub"1
22
+…+n×class="stub"1
2n

∴class="stub"1
2
Sn=1×class="stub"1
22
+2×class="stub"1
23
+…+（n-1）×class="stub"1
2n
+n×class="stub"1
2n+1

两式相减可得class="stub"1
2
Sn=1×class="stub"1
2
+1×class="stub"1
22
+1×class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n
-n×class="stub"1
2n+1

∴Sn=2-class="stub"1
2n-1
-class="stub"n
2n

故选D．

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