首页 > 已知数列{an}是首项a1=1的等比数列，其前n项和Sn中，S3、S4、S2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2log12|an|+1，求数列{bn}的前n项和为Tn；（3）求

已知数列{an}是首项a1=1的等比数列，其前n项和Sn中，S3、S4、S2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2log12|an|+1，求数列{bn}的前n项和为Tn；（3）求

题目简介

已知数列{an}是首项a1=1的等比数列，其前n项和Sn中，S3、S4、S2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2log12|an|+1，求数列{bn}的前n项和为Tn；（3）求

题目详情

已知数列{an}是首项a1=1的等比数列，其前n项和Sn中，S3、S4、S2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=2log
1
2
|an|+1，求数列{bn}的前n项和为Tn；
（3）求满足(1-
1
T2
)(1-
1
T3
)•…•(1-
1
Tn
)＞
1013
2013
的最大正整数n的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）若q=1，则S3=3，S4=4，S2=2，显然S3，S4，S2不构成等差数列，
∴q≠1．
故由S3，S4，S2成等差数列得：2•
a1(1-q4)
1-q
=
a1(1-q3)
1-q
+
a1(1-q2)
1-q
…（2分）
∴2q4=q3+q2⇒2q2-q-1=0⇒（2q+1）（q-1）=0，
∵q≠1，
∴q=-class="stub"1
2
．…（4分）
∴an=1×(-class="stub"1
2
)n-1=(-class="stub"1
2
)n-1．…（5分）
（2）∵bn=2logclass="stub"1
2
|an|+1=2logclass="stub"1
2
|(-class="stub"1
2
)n-1|+1=2logclass="stub"1
2
(class="stub"1
2
)n-1+1=2（n-1）+1=2n-1…（7分）
∴Tn═1+3+…+（2n-1）=
n(1+2n-1)
2
=n2．…（9分）
（3）（1-class="stub"1
T2
）（1-class="stub"1
T3
）…（1-class="stub"1
Tn
）
=（1-class="stub"1
22
）（1-class="stub"1
32
）…（1-class="stub"1
n2
）
=
22-1
22
•
32-1
32
…
n2-1
n2
=
1•3•2•4•3•5•…•(n-1)(n+1)
22•32•42•…•n2
…（11分）
=class="stub"n+1
2n
．…（13分）
令class="stub"n+1
2n
＞class="stub"1013
2013
，解得：n＜154class="stub"11
13
．
故满足条件的最大正整数n的值为154．…（14分）

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