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对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．对正整数k，规定{△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=

题目简介

对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．对正整数k，规定{△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=

题目详情

对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．对正整数k，规定 {△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an）．
（Ⅰ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{an}，若数列{bn}是等差数列，使得b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=an对一切正整数n∈N*都成立，求bn；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，令cn=（2n-1）bn，设Tn=
c1
a1
+
c2
a2
+
c3
a3
+…+
cn
an
，若Tn＜m成立，求最小正整数m的值．
题型：解答题难度：中档来源：东城区模拟

答案

（Ⅰ）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，
得△an-an=2n，
∴an+1-2an=2n，
∴
an+1
2n+1
-
an
2n
=class="stub"1
2
，---------------（2分）
∴数列{
an
2n
}是首项为class="stub"1
2
，公差为class="stub"1
2
的等差数列，
∴
an
2n
=class="stub"1
2
+(n-1)×class="stub"1
2
，
∴an=n•2n-1．--------（4分）
（Ⅱ）∵b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=an，
∴b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=n•2n-1．
∵kCnk=nCn-1k-1，
∴
C1n
+2
C2n
+3
C3n
+…+(n-1)
Cn-1n
+n
Cnn
=n
C0n-1
+n
C1n-1
+n
C2n-1
+…+n
Cn-1n-1
=n(
C0n-1
+
C1n-1
+
C2n-1
+…+
Cn-1n-1
)=n•2n-1.

∴bn=n．------------（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得  
Tn=class="stub"1
1
+class="stub"3
2
+class="stub"5
22
+…+class="stub"2n-1
2n-1
，①
  class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
2
+class="stub"3
22
+class="stub"5
23
+…+class="stub"2n-1
2n
，②
①-②得 class="stub"1
2
Tn=1+1+class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n-2
-class="stub"2n-1
2n
=3-class="stub"1
2n-2
-class="stub"2n-1
2n
，
∴Tn=6-class="stub"1
2n-3
-class="stub"2n-1
2n-1
＜6，----------（10分）
又Tn=class="stub"1
1
+class="stub"3
2
+class="stub"5
22
+…+class="stub"2n-1
2n-1
，
∴Tn+1-Tn＞0，
∴{Tn}是递增数列，且T6=6-class="stub"1
23
-class="stub"11
25
＞5，
∴满足条件的最小正整数m的值为6．--------（13分）

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