设函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,f(0)=12,数列{an}满f(1)=n2an(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn等于______.-数学

题目简介

设函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,f(0)=12,数列{an}满f(1)=n2an(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn等于______.-数学

题目详情

设函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1f(0)=
1
2
,数列{an}满f(1)=n2an(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn等于______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,
∴f(0)=a1=class="stub"1
2
,f(1)=a0+a1+…+an
∵f(1)=n2•an,
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=n2•an,
又∵an=Sn-Sn-1=n2•an-(n-1)2•an-1,
∴(n2-1)an=(n-1)2•an-1(n≥2),
an
an-1
=
n2-1
(n-1)2
=class="stub"n+1
n-1

利用叠乘可得,
a2
a1
a3
a2
a4
a3
an
an-1
=class="stub"1
3
×class="stub"2
4
×…×class="stub"n-2
n
×class="stub"n-1
n+1

an
an-1
=class="stub"1
3
×class="stub"2
4
×…×class="stub"n-2
n
×class="stub"n-1
n+1

∴an=class="stub"1
n(n+1)

故答案为class="stub"1
n(n+1)

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