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> 已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,有Sn,a2(a-1)an,n(a≠0,a≠1)成等差数列,令bn=(an+1)lg(an+1).(1)求数列{an}的通项公式an(用a,n表示)
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,有Sn,a2(a-1)an,n(a≠0,a≠1)成等差数列,令bn=(an+1)lg(an+1).(1)求数列{an}的通项公式an(用a,n表示)
题目简介
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,有Sn,a2(a-1)an,n(a≠0,a≠1)成等差数列,令bn=(an+1)lg(an+1).(1)求数列{an}的通项公式an(用a,n表示)
题目详情
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且对任意正整数n,有S
n
,
a
2(a-1)
a
n
,n(a≠0,a≠1)成等差数列,令b
n
=(a
n
+1)lg(a
n
+1).
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
(用a,n表示)
(2)当
a=
8
9
时,数列{b
n
}是否存在最小项,若有,请求出第几项最小;若无,请说明理由;
(3)若{b
n
}是一个单调递增数列,请求出a的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)由题意
class="stub"a
a-1
a
n
=
S
n
+n
①
∴
class="stub"a
a-1
a
n+1
=
S
n+1
+n+1
②
②-①得
class="stub"1
a-1
a
n+1
=
class="stub"a
a-1
a
n
+1
,
即an+1+1=a(an+1),{an+1}是以a为公比的等比数列.∴an+1=(a1+1)an-1
又由
class="stub"a
a-1
a
1
=
a
1
+1
⇒a1=a-1∴an=an-1
(2)
a=
class="stub"8
9
时,
b
n
=n(
class="stub"8
9
)
n
lg
class="stub"8
9
,
b
n+1
-
b
n
=
class="stub"8-n
9
•(
class="stub"8
9
)
n
•lg
class="stub"8
9
当n<8时,bn+1-bn<0即bn+1<bn,∴b1>b2>>b8
当n=8时,bn+1-bn=0即bn+1=b&n,b8=b9
当n>8时,bn+1-bn>0即bn+1>bn∴b9<b10<
存在最小项且第8项和第9项最小
(3)由bn+1>bn得bn+1-bn=(n+1)an+1lga-nanlga=an[(n+1)a-n]lga>0
当a>1时,得(n+1)a-n>0,即
a>
class="stub"n
n+1
,显然恒成立,∴a>1
当0<a<1时,lga<0,∴(n+1)a-n<0即
a<
class="stub"n
n+1
,∴
a<
class="stub"1
2
,∴
0<a<
class="stub"1
2
综上,a的取值范围为
(0,
class="stub"1
2
)∪(1,+∞)
.
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对于每个正整数n,抛物线y=(n2+n)x
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已知数列{an}(n∈N*),首项a1=56
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