首页 > 过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2；…；依此下

过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2；…；依此下

题目简介

过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2；…；依此下

题目详情

过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2；…；依此下去，得到一系列点M1，M2，…Mn，…；设它们的横坐标a1，a2，…，
an…构成数列为{an}．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：an≥1+
n
k-1
；
（Ⅲ）当k=2时，令bn=
n
an
，求数列{bn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：聊城一模

答案

（Ⅰ）对y=xk求导数，
得y′=kxk-1，
点是Mn（an，ank）的切线方程是y-ank=kank-1（x-an）．…（2分）
当n=1时，切线过点P（1，0），
即0-a1k=ka1k-1（1-a1），
得a1=class="stub"k
k-1
；
当n＞1时，切线过点Pn-1（an-1，0），
即0-ank=kank-1（an-1-an），
得
an
an-1
=class="stub"k
k-1
．
所以数列{an}是首项a1=class="stub"k
k-1
，公比为class="stub"k
k-1
的等比数列，
所以数列{an}的通项公式为an=(class="stub"k
k-1
)n，n∈N*．…（4分）
（ II）应用二项式定理，得an=(class="stub"k
k-1
)n=(1+class="stub"1
k-1
)n=
C0n
+
C1n
class="stub"1
k-1
+
C2n
(class="stub"1
k-1
)2+…+
Cnn
(class="stub"1
k-1
)n≥1+class="stub"n
k-1
．…（8分）
（ III）当k=2时，an=2n，
数列{bn}的前n项和Sn=class="stub"1
2
+class="stub"2
22
+class="stub"3
23
+…+class="stub"n
2n
，
同乘以class="stub"1
2
，得class="stub"1
2
Sn=class="stub"1
22
+class="stub"2
23
+class="stub"3
24
+…+class="stub"n
2n+1
，
两式相减，…（10分）
得class="stub"1
2
Sn=class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n
-class="stub"n
2n+1
=
class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n
)
1-class="stub"1
2
-class="stub"n
2n+1
=1-class="stub"1
2n
-class="stub"n
2n+1
，
所以Sn=2-class="stub"n+2
2n
．…（12分）

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