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> 已知函数f(x)=ax+bcx2+1（a，b，c为常数，a≠0）．（Ⅰ）若c=0时，数列an满足条件：点（n，an）在函数f(x)=ax+bcx2+1的图象上，求an的前n项和Sn；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条
已知函数f(x)=ax+bcx2+1（a，b，c为常数，a≠0）．（Ⅰ）若c=0时，数列an满足条件：点（n，an）在函数f(x)=ax+bcx2+1的图象上，求an的前n项和Sn；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条
题目简介
已知函数f(x)=ax+bcx2+1（a，b，c为常数，a≠0）．（Ⅰ）若c=0时，数列an满足条件：点（n，an）在函数f(x)=ax+bcx2+1的图象上，求an的前n项和Sn；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条
题目详情
已知函数
f(x)=
ax+b
c
x
2
+1
（a，b，c为常数，a≠0）．
（Ⅰ）若c=0时，数列a
n
满足条件：点（n，a
n
）在函数
f(x)=
ax+b
c
x
2
+1
的图象上，求a
n
的前n项和S
n
；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a
3
=7，S
4
=24，p，q∈N
*
（p≠q），证明：
S
p+q
＜
1
2
(
S
2p
+
S
2q
)
；
（Ⅲ）若c=1时，f（x）是奇函数，f（1）=1，数列x
n
满足
x
1
=
1
2
，x
n+1
=f（x
n
），求证：
(
x
1
-
x
2
)
2
x
1
x
2
+
(
x
2
-
x
3
)
2
x
2
x
3
+…+
(
x
n
-
x
n+1
)
2
x
n
x
n+1
＜
5
16
．
题型：解答题
难度：中档
来源：龙泉驿区模拟
答案
（Ⅰ）依条件有f（x）=ax+b．
因为点（n，an）在函数f（x）=ax+b的图象上，所以an=f（n）=an+b．
因为an+1-an=a（n+1）+b-（an+b）=a，
所以an是首项是a1=a+b，公差为d=a的等差数列．（1分）
所以
S
n
=n(a+b)+
n(n-1)
2
•a
=
nb+
n(n+1)
2
•a
．
即数列an的前n项和Sn=
nb+
n(n+1)
2
•a
．（2分）
（Ⅱ）证明：依条件有
(a+b)+2a=7
4(a+b)+
class="stub"4×3
2
•a=24
即
3a+b=7
10a+4b=24
解得
a=2
b=1
所以an=2n+1．
所以
S
n
=
n(
a
1
+
a
n
)
2
=
n
2
+2n
．（3分）
因为2Sp+q-（S2p+S2q）=2[（p+q）2+2（p+q）]-（4p2+4p）-（4q2+4q）=-2（p-q）2，
又p≠q，所以2Sp+q-（S2p+S2q）＜0．
即
S
p+q
＜
class="stub"1
2
(
S
2p
+
S
2q
)
．（5分）
（Ⅲ）依条件
f(x)=
class="stub"ax+b
x
2
+1
．
因为f（x）为奇函数，所以f（-x）+f（x）=0．
即
class="stub"ax+b
x
2
+1
+
class="stub"-ax+b
x
2
+1
=0
．解得b=0．所以
f(x)=
class="stub"ax
x
2
+1
．
又f（1）=1，所以a=2．
故
f(x)=
class="stub"2x
x
2
+1
．（6分）
因为xn+1=f（xn），所以
x
n+1
=
2
x
n
x
2n
+1
．所以
x
1
=
class="stub"1
2
＞0
时，有xn+1＞0（n∈N*）．
又
x
n+1
=f(
x
n
)=
2
x
n
x
2n
+1
≤
2
x
n
2
x
n
=1
，
若xn+1=1，则xn=1．从而x1=1．这与
x
1
=
class="stub"1
2
矛盾．
所以0＜xn+1＜1．（8分）
所以
x
k+1
-
x
k
=
x
k
(1-
x
k
)•
1+
x
k
x
k
2
+1
≤
class="stub"1
4
•
class="stub"1
x
k
+1+
class="stub"2
x
k
+1
-2
≤
class="stub"1
4
•
class="stub"1
2
2
-2
=
2
+1
8
．
所以
(
x
k
-
x
k+1
)
2
x
k
x
k+1
=
x
k+1
-
x
k
x
k
x
k+1
(
x
k+1
-
x
k
)＜
2
+1
8
(
class="stub"1
x
k
-
class="stub"1
x
k+1
)
．（10分）
所以
(
x
1
-
x
2
)
2
x
1
x
2
+
(
x
2
-
x
3
)
2
x
2
x
3
++
(
x
n+1
-
x
n
)
2
x
n
x
n+1
＜
2
+1
8
[(
class="stub"1
x
1
-
class="stub"1
x
2
)+(
class="stub"1
x
2
-
class="stub"1
x
3
)++(
class="stub"1
x
n
-
class="stub"1
x
n+1
)]
=
2
+1
8
(
class="stub"1
x
1
-
class="stub"1
x
n+1
)=
2
+1
8
(2-
class="stub"1
x
n+1
)
．（12分）
因为
x
1
=
class="stub"1
2
，xn+1＞xn，所以
class="stub"1
2
＜
x
n+1
＜1
．所以
1＜
class="stub"1
x
n+1
＜2
．
所以
(
x
1
-
x
2
)
2
x
1
x
2
+
(
x
2
-
x
3
)
2
x
2
x
3
++
(
x
n
-
x
n+1
)
2
x
n
x
n+1
＜
2
+1
8
(2-1)＜
class="stub"3
2
+1
8
=
class="stub"5
16
．（14分）
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函数f（x）=x3，在等差数列{an}中，a3=
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已知数列{an}为首项a1≠0，公差
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求数列11×3，12×4，13×5，…，1n(n+2)，…的前n项和S．-数学
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已知数列{an}满足：a1=1；an+1-an=1，n∈N*．数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn+bn=2，n∈N*．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）令数列{cn}满足cn=an•b
已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=aa-1(an-1)（其中a为常数且a≠0，a≠1，n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．-数学
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题目简介
已知函数f(x)=ax+bcx2+1（a，b，c为常数，a≠0）．（Ⅰ）若c=0时，数列an满足条件：点（n，an）在函数f(x)=ax+bcx2+1的图象上，求an的前n项和Sn；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条
题目详情
（Ⅰ）若c=0时，数列an满足条件：点（n，an）在函数f(x)=
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a3=7，S4=24，p，q∈N*（p≠q），证明：Sp+q＜
（Ⅲ）若c=1时，f（x）是奇函数，f（1）=1，数列xn满足x1=
答案
因为点（n，an）在函数f（x）=ax+b的图象上，所以an=f（n）=an+b．
因为an+1-an=a（n+1）+b-（an+b）=a，
所以an是首项是a1=a+b，公差为d=a的等差数列．（1分）
所以Sn=n(a+b)+
即数列an的前n项和Sn=nb+
（Ⅱ）证明：依条件有
所以an=2n+1．
所以Sn=
因为2Sp+q-（S2p+S2q）=2[（p+q）2+2（p+q）]-（4p2+4p）-（4q2+4q）=-2（p-q）2，
又p≠q，所以2Sp+q-（S2p+S2q）＜0．
即Sp+q＜
（Ⅲ）依条件f(x)=
因为f（x）为奇函数，所以f（-x）+f（x）=0．
即
又f（1）=1，所以a=2．
故f(x)=
因为xn+1=f（xn），所以xn+1=
又xn+1=f(xn)=
若xn+1=1，则xn=1．从而x1=1．这与x1=
所以0＜xn+1＜1．（8分）
所以xk+1-xk=xk(1-xk)•
所以
所以
因为x1=
所以