在数列{an}中,a1=1,2an+1=(1+1n)2an.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)令bn=an+1-12an,求数列{bn}的前n项和Sn;(Ⅲ)求数列{an}的前n项和Tn.-数学

题目简介

在数列{an}中,a1=1,2an+1=(1+1n)2an.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)令bn=an+1-12an,求数列{bn}的前n项和Sn;(Ⅲ)求数列{an}的前n项和Tn.-数学

题目详情

在数列{an}中,a1=1,2an+1=(1+
1
n
)2an

(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)令bn=an+1-
1
2
an
,求数列{bn}的前n项和Sn
(Ⅲ)求数列{an}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:四川

答案

(Ⅰ)由条件得
an+1
(n+1)2
=class="stub"1
2
an
n2
,又n=1时,
an
n2
=1

故数列{
an
n2
}
构成首项为1,公式为class="stub"1
2
的等比数列.从而
an
n2
=class="stub"1
2n-1
,即an=
n2
2n-1

(Ⅱ)由bn=
(n+1)2
2n
-
n2
2n
=class="stub"2n+1
2n
Sn=class="stub"3
2
+class="stub"5
22
+…+class="stub"2n+1
2n
class="stub"1
2
Sn=class="stub"3
22
+class="stub"5
23
+…+class="stub"2n-1
2n
+class="stub"2n+1
2n+1

两式相减得:class="stub"1
2
Sn=class="stub"3
2
+2(class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n
)-class="stub"2n+1
2n+1
,所以Sn=5-class="stub"2n+5
2n

(Ⅲ)由Sn=(a2+a3+…+an+1)-class="stub"1
2
(a1+a2+…+an)
Tn-a1+an+1-class="stub"1
2
Tn=Sn

所以Tn=2Sn+2a1-2an+1=12-
n2+4n+6
2n-1

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