已知由正数组成的两个数列{an},{bn},如果an,an+1是关于x的方程x2-2bn2x+anbnbn+1=0的两根.(1)求证:{bn}为等差数列;(2)已知a1=2,a2=6,分别求数列{an

题目简介

已知由正数组成的两个数列{an},{bn},如果an,an+1是关于x的方程x2-2bn2x+anbnbn+1=0的两根.(1)求证:{bn}为等差数列;(2)已知a1=2,a2=6,分别求数列{an

题目详情

已知由正数组成的两个数列{an},{bn},如果an,an+1是关于x的方程x2-2bn2x+anbnbn+1=0的两根.
(1)求证:{bn}为等差数列;
(2)已知a1=2,a2=6,分别求数列{an},{bn}的通项公式;
(3)求数{
bn
2n
}的前n项和S
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由:an,an+1是关于x的方程x2-2bn2x+anbnbn+1=0的两根,
得:an+an+1=2bn2,anan+1=anbnbn+1…(2分)
∴2bn2=bn-1bn+bnbn+1,
∵bn>0,
∴2bn=bn-1+bn+1(n>1)
∴{bn}是等差数列              …(4分)
(2)由(1)知2b12=a1+a2=8,
∴b1=2,
∵a2=b1b2,
∴b2=3,
∴bn=n+1,
∴bn-1=n…(6分)
an=bn-1bn=n(n+1)(n>1)…(7分)
又a1=2符合上式,∴an=n(n+1)…(9分)
(3)Sn=class="stub"2
2
+class="stub"3
22
+class="stub"4
23
+…+class="stub"n+1
2n

class="stub"1
2
Sn=class="stub"2
22
+class="stub"3
23
+…+class="stub"n+1
2n+1

①-②得class="stub"1
2
Sn=1+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+class="stub"1
24
+…+class="stub"1
2n
-class="stub"n+1
2n+1
…(13分)
=1+
class="stub"1
4
(1-class="stub"1
2n+1
)
1-class="stub"1
2
-class="stub"n-1
2n+1
=1+class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n-1
)-class="stub"n-1
2n+1

Sn=3-class="stub"n+3
2n
…(16分)

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